Kaip išvesti derinių formulę
PeopleImages.com / Getty Images
Pamačius formules, išspausdintas vadovėlyje arba ant lentos užrašytas mokytojo, kartais stebina, kad daugelis šių formulių gali būti išvestos iš kai kurių esminių apibrėžimų ir kruopštaus mąstymo. Tai ypač pasakytina apie tikimybę, kai nagrinėjama derinių formulė. Šios formulės išvedimas iš tikrųjų remiasi daugybos principu.
Daugybos principas
Tarkime, kad yra užduotis, kurią reikia atlikti, ir ši užduotis suskirstyta į du veiksmus. Pirmasis žingsnis gali būti atliktas k būdus, o antrasis veiksmas gali būti atliktas n būdai. Tai reiškia, kad podauginantisšie skaičiai kartu, užduoties atlikimo būdų skaičius yra toks kaip .
Pavyzdžiui, jei galite rinktis iš dešimties rūšių ledų ir tris skirtingus priedus, kiek galite pagaminti vieną kaušelį ir vieną užpilą saulėgrąžų? Padauginkite tris iš 10, kad gautumėte 30 saulėgrąžų.
Permutacijų formavimas
Dabar naudokite daugybos principą, kad gautumėte derinio skaičiaus formulę r elementų, paimtų iš rinkinio n elementai. Leisti P(n,r) pažymėkite skaičių permutacijas apie r elementų iš rinkinio n ir C(n,r) žymi kombinacijų skaičių r elementų iš rinkinio n elementai.
Pagalvokite, kas nutinka formuojant permutaciją r elementų iš viso n . Pažvelkite į tai kaip į dviejų etapų procesą. Pirmiausia pasirinkite rinkinį r elementų iš rinkinio n . Tai yra derinys ir yra C (n, r) būdai tai padaryti. Antrasis proceso žingsnis yra užsakymas r elementai su r pasirinkimas pirmam, r - 1 pasirinkimas antrajam, r - 2 už trečią, 2 pasirinkimai priešpaskutinei ir 1 paskutiniam. Pagal daugybos principą yra r x ( r -1 ) x . . . x 2 x 1 = r ! būdų tai padaryti. Ši formulė parašyta su faktorinis žymėjimas .
Formulės išvedimas
Apibendrinant, P ( n , r ), permutacijos formavimo būdų skaičius r elementų iš viso n yra nustatoma pagal:
- Sudarant derinį r elementų iš viso n bet kuriame iš C ( n , r ) būdai
- Šių užsakymas r bet kuris iš elementų r ! būdai.
Pagal daugybos principą permutacijos formavimo būdų skaičius yra P ( n , r ) = C ( n , r ) x r !.
Naudojant permutacijų formulę P ( n , r ) = n !/( n - r )!, kurią galima pakeisti aukščiau pateikta formule:
n !/( n - r )! = C ( n , r ) r !.
Dabar išspręskite tai, derinių skaičių, C ( n , r ) ir pažiūrėkite C ( n , r ) = n !/[ r !( n - r )!].
Kaip parodyta, šiek tiek mąstymo ir algebros gali nuveikti ilgą kelią. Kitos tikimybių ir statistikos formulės taip pat gali būti išvestos atsargiai taikant apibrėžimus.