Atsitiktinio kintamojo momento generavimo funkcija

Atsitiktinio dydžio momentą generuojanti funkcija apibrėžiama tikėtinos vertės atžvilgiu. C.K.Taylor

Vienas iš būdų apskaičiuoti a vidurkį ir dispersiją tikimybių skirstinys yra rasti numatomos vertės atsitiktinių dydžių X ir X ^du. Mes naudojame žymėjimą IR ( X ) ir IR ( X ^du) šioms numatomoms reikšmėms pažymėti. Apskritai sunku apskaičiuoti IR ( X ) ir IR ( X ^du) tiesiogiai. Norėdami įveikti šį sunkumą, naudojame pažangesnę matematinę teoriją ir skaičiavimus. Galutinis rezultatas yra kažkas, kas palengvina mūsų skaičiavimus.

Šios problemos strategija yra apibrėžti naują funkciją, naujo kintamojo t tai vadinama momento generavimo funkcija. Ši funkcija leidžia apskaičiuoti momentus tiesiog imant išvestines.

Prielaidos

Prieš apibrėždami momento generavimo funkciją, pirmiausia nustatome žymėjimo ir apibrėžimų etapą. Mes leidžiame X būk a diskrečiųjų atsitiktinių dydžių . Šis atsitiktinis dydis turi tikimybės masės funkciją f ( x ). Pavyzdinė erdvė, su kuria dirbame, bus pažymėta S .

Užuot apskaičiavę numatomą vertę X , norime apskaičiuoti numatomą eksponentinės funkcijos, susijusios su X . Jei yra teigiamas tikras numeris r toks kad IR ( ir^tX ) egzistuoja ir yra baigtinis visiems t intervale [- r , r ], tada galime apibrėžti momentą generuojančią funkciją X .

Apibrėžimas

Momento generavimo funkcija yra numatoma aukščiau nurodytos eksponentinės funkcijos vertė. Kitaip tariant, mes sakome, kad momento generavimo funkcija X suteikia:

M ( t ) = IR ( ir^tX )

Ši numatoma vertė yra formulė Σ ir ^tx f ( x ), kur sumuojama visa x viduje pavyzdinė erdvė S . Tai gali būti baigtinė arba begalinė suma, priklausomai nuo naudojamos pavyzdžio erdvės.

Savybės

Momento generavimo funkcija turi daug funkcijų, kurios jungiasi su kitomis tikimybių ir matematinės statistikos temomis. Kai kurios iš svarbiausių jo savybių:

• Koeficientas iš ir^tb yra tikimybė, kad X = b .
• Akimirkos generavimo funkcijos turi unikalumo savybę. Jei dviejų atsitiktinių dydžių momentinės funkcijos sutampa, tada tikimybės masės funkcijos turi būti vienodos. Kitaip tariant, atsitiktiniai dydžiai apibūdina tą patį tikimybių pasiskirstymą.
• Momentų generavimo funkcijos gali būti naudojamos akimirkoms apskaičiuoti X .

Skaičiuojant akimirkas

Paskutinis aukščiau esančio sąrašo elementas paaiškina momentą generuojančių funkcijų pavadinimą ir jų naudingumą. Kai kuri pažangi matematika sako, kad mūsų nustatytomis sąlygomis yra bet kokios funkcijos eilės išvestinė M ( t ) egzistuoja kada t = 0. Be to, šiuo atveju galime pakeisti sumavimo ir diferenciacijos tvarką t kad gautumėte šias formules (visi suminiai viršija reikšmes x pavyzdinėje erdvėje S ):

• M '( t ) = S automobilis^tx f ( x )
• M ''( t ) = S x^duir^tx f ( x )
• M '''( t ) = S x³ir^tx f ( x )
• M ⁽ⁿ⁾'( t ) = S xⁿir^tx f ( x )

Jei nustatysime t = 0 aukščiau pateiktose formulėse, tada ir^tx terminas tampa ir ⁰= 1. Taip gauname atsitiktinio dydžio momentų formules X :

• M '(0) = IR ( X )
• M ''(0) = IR ( X ^du)
• M ''(0) = IR ( X ³)
• M ^{( n )}(0) = IR ( Xⁿ )

Tai reiškia, kad jei tam tikram atsitiktiniam dydžiui egzistuoja momentą generuojanti funkcija, tada galime rasti jos vidurkį ir jos dispersiją momentą generuojančios funkcijos išvestinių atžvilgiu. Vidurkis yra M '(0), o dispersija yra M ''(0) – [ M '(0)]^du.

Santrauka

Apibendrinant, mes turėjome gilintis į gana galingą matematiką, todėl kai kurie dalykai buvo nuslėpti. Nors pirmiau minėtiems dalykams turime naudoti skaičiavimus, galų gale mūsų matematinis darbas paprastai yra lengvesnis nei skaičiuojant momentus tiesiai iš apibrėžimo.