Dviejų kauliukų metimo tikimybė
Tetra Images / Getty Images
Vienas populiarus būdas tirti tikimybę yra mesti kauliukus. Standartinis kauliukas turi šešias puses, atspausdintas mažais taškeliais, numeruotais 1, 2, 3, 4, 5 ir 6. Jei kauliukas yra teisingas (ir mes tai padarysime manyti kad visi jie yra), tada kiekvienas iš šių rezultatų yra vienodai tikėtinas. Kadangi yra šeši galimi rezultatai, tikimybė gauti bet kurią kauliuko pusę yra 1/6. Tikimybė ridenti 1 yra 1/6, 2 – 1/6 ir t.t. Bet kas atsitiks, jei pridėsime dar vieną kauliuką? Kokia tikimybė išmesti du kauliukus?
Kauliuko metimo tikimybė
Norėdami teisingai nustatyti kauliuko metimo tikimybę, turime žinoti du dalykus:
- Dydis pavyzdinė erdvė arba visų galimų rezultatų rinkinys
- Kaip dažnai įvyksta įvykis
Į tikimybė , įvykis yra tam tikras imties erdvės poaibis. Pavyzdžiui, kai metamas tik vienas kauliukas, kaip nurodyta aukščiau pateiktame pavyzdyje, pavyzdžio erdvė yra lygi visoms kauliuko arba rinkinio reikšmėms (1, 2, 3, 4, 5, 6). Kadangi kauliukas yra teisingas, kiekvienas skaičius rinkinyje pasirodo tik vieną kartą. Kitaip tariant, kiekvieno skaičiaus dažnis yra 1. Norėdami nustatyti tikimybę išmesti bet kurį skaičių ant kauliuko, įvykio dažnį (1) padalijame iš imties erdvės dydžio (6), todėl gauname tikimybę. iš 1/6.
Dviejų sąžiningų kauliukų metimas daugiau nei dvigubai apsunkina tikimybių skaičiavimą. Taip yra todėl, kad vieno kauliuko metimas nepriklauso nuo antrojo. Vienas ritinys neturi jokios įtakos kitam. Kai kalbame apie nepriklausomus įvykius, naudojame daugybos taisyklė . Medžio diagramos naudojimas parodo, kad yra 6 x 6 = 36 galimi rezultatai išmetus du kauliukus.
Tarkime, kad pirmasis kauliukas, kurį mes metame, yra 1. Kitas kauliukų metimas gali būti 1, 2, 3, 4, 5 arba 6. Dabar tarkime, kad pirmasis kauliukas yra 2. Kitas kauliukų metimas vėl gali būti a 1, 2, 3, 4, 5 arba 6. Mes jau radome 12 galimų pasekmių ir dar turime išnaudoti visas pirmojo kauliuko galimybes.
Dviejų kauliukų metimo tikimybių lentelė
Galimi dviejų kauliukų metimo rezultatai pateikiami žemiau esančioje lentelėje. Atkreipkite dėmesį, kad visų galimų rezultatų skaičius yra lygus pirmojo kauliuko imties erdvei (6) padauginta pagal antrojo matricos (6) mėginio erdvę, kuri yra 36.
| 1 | du | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | (vienuolika) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (penkiolika) | (1, 6) |
| du | (dvidešimt vienas) | (2, 2) | (23) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) |
| 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3. 4) | (3, 5) | (3, 6) |
| 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (Keturi. Penki) | (4, 6) |
| 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) |
| 6 | (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (6, 5) | (6, 6) |
Trys ar daugiau kauliukų
Tas pats principas galioja, jei dirbame problemos, susijusios su trimis kauliukais . Padauginame ir matome, kad yra 6 x 6 x 6 = 216 galimų rezultatų. Kadangi tampa sudėtinga rašyti kartotinį dauginimą, galime naudoti eksponentus, kad supaprastintume darbą. Dviem kauliukams yra 6dugalimus rezultatus. Trims kauliukams yra 63galimus rezultatus. Apskritai, jei mes ridename n kauliukai, tada iš viso yra 6 n galimus rezultatus.
Pavyzdinės problemos
Turėdami šias žinias, galime išspręsti visas tikimybių problemas:
1. Metami du šešiapusiai kauliukai. Kokia tikimybė, kad dviejų kauliukų suma yra septyni?
Lengviausias būdas išspręsti šią problemą yra peržiūrėti aukščiau pateiktą lentelę. Pastebėsite, kad kiekvienoje eilėje metamas vienas kauliukas, kurio dviejų kauliukų suma lygi septyniems. Kadangi yra šešios eilutės, yra šeši galimi rezultatai, kai dviejų kauliukų suma yra lygi septynioms. Bendras galimų baigčių skaičius išlieka 36. Vėlgi, tikimybę randame padalydami įvykio dažnį (6) iš imties erdvės dydžio (36), todėl tikimybė yra 1/6.
2. Metami du šešiapusiai kauliukai. Kokia tikimybė, kad suma iš dviejų kauliukų yra trys?
Ankstesnėje užduotyje galbūt pastebėjote, kad langeliai, kuriuose dviejų kauliukų suma yra lygi septynioms, sudaro įstrižainę. Tas pats pasakytina ir čia, tik šiuo atveju yra tik dvi ląstelės, kuriose kauliukų suma yra trys. Taip yra todėl, kad yra tik du būdai pasiekti tokį rezultatą. Turite mesti 1 ir 2 arba 2 ir 1. Septynių sumos metimo kombinacijos yra daug didesnės (1 ir 6, 2 ir 5, 3 ir 4 ir tt). Norėdami rasti tikimybę, kad dviejų kauliukų suma yra trys, galime padalyti įvykio dažnį (2) iš imties erdvės dydžio (36), todėl tikimybė yra 1/18.
3. Metami du šešiapusiai kauliukai. Kokia tikimybė, kad numeriai ant kauliukų skiriasi?
Vėlgi, mes galime lengvai išspręsti šią problemą, peržiūrėję aukščiau pateiktą lentelę. Pastebėsite, kad ląstelės, kuriose kauliukų skaičiai yra vienodi, sudaro įstrižainę. Jų yra tik šeši, o juos perbraukus, gauname likusius langelius, kuriuose kauliukų skaičiai skiriasi. Galime paimti derinių skaičių (30) ir padalyti jį iš imties erdvės dydžio (36), todėl tikimybė yra 5/6.