Įvadas į vektorinę matematiką

Tatjana Kolesnikova / Getty Images

Tai yra pagrindinė, nors, tikiuosi, gana išsami įvadas į darbą su vektoriais. Vektoriai pasireiškia įvairiais būdais – nuo ​​poslinkio, greičio ir pagreičio iki jėgų ir laukų. Šis straipsnis skirtas vektorių matematikai; jų taikymas konkrečiose situacijose bus aptartas kitur.

Vektoriai ir skaliarai

A vektorinis kiekis , arba vektorius , suteikia informacijos ne tik apie kiekio dydį, bet ir kryptį. Pateikiant nuorodas į namą neužtenka pasakyti, kad jis yra už 10 mylių, bet reikia nurodyti ir tų 10 mylių kryptį, kad informacija būtų naudinga. Kintamieji, kurie yra vektoriai, bus pažymėti paryškintu šriftu, nors įprasta matyti vektorius, žymimus mažomis rodyklėmis virš kintamojo.

Kaip nesakome, kad kitas namas yra už –10 mylių, vektoriaus dydis visada yra teigiamas skaičius arba, veikiau, absoliuti vektoriaus „ilgio“ reikšmė (nors dydis gali būti ne ilgis, tai gali būti greitis, pagreitis, jėga ir pan.) Neigiamas prieš vektorių rodo ne dydžio pokytį, o vektoriaus kryptį.

Aukščiau pateiktuose pavyzdžiuose atstumas yra skaliarinis dydis (10 mylių), bet poslinkis yra vektorinis dydis (10 mylių į šiaurės rytus). Panašiai greitis yra skaliarinis dydis, o greitis yra a vektorius kiekis.

A vieneto vektorius yra vektorius, kurio dydis yra vienas. Vektorius, vaizduojantis vienetinį vektorių, paprastai taip pat yra paryškintas, nors jis turi karatą ( ^ ) virš jo, nurodydamas kintamojo vienetinį pobūdį. Vieneto vektorius x , kai rašoma karatais, paprastai skaitoma kaip „x-hat“, nes karatas atrodo kaip skrybėlė ant kintamojo.

The nulinis vektorius , arba nulinis vektorius , yra vektorius, kurio dydis lygus nuliui. Rašoma kaip 0 šiame straipsnyje.

Vektoriniai komponentai

Vektoriai paprastai yra orientuoti į koordinačių sistemą, iš kurių populiariausia yra dvimatė Dekarto plokštuma. Dekarto plokštuma turi horizontalią ašį, pažymėtą x, ir vertikalią ašį y. Kai kurioms pažangioms fizikos vektorių programoms reikia naudoti trimatę erdvę, kurios ašys yra x, y ir z. Šiame straipsnyje daugiausia bus kalbama apie dvimatę sistemą, nors sąvokas galima atsargiai išplėsti iki trijų matmenų be didelių problemų.

Kelių matmenų koordinačių sistemose esantys vektoriai gali būti suskirstyti į jų komponentų vektoriai . Dvimačiu atveju tai lemia a x komponentas ir a y komponentas . Suskaidžius vektorių į jo komponentus, vektorius yra komponentų suma:

F = F_x + F_Y

teta F_xF_YF

F_x / F = cos teta ir F_Y / F = be teta kuri mums suteikia
F_x = F cos teta ir F_Y = F be teta

Atkreipkite dėmesį, kad čia pateikti skaičiai yra vektorių dydžiai. Mes žinome komponentų kryptį, bet bandome rasti jų dydį, todėl pašaliname krypties informaciją ir atliekame šiuos skaliarinius skaičiavimus, kad išsiaiškintume dydį. Tolesnis trigonometrijos taikymas gali būti naudojamas norint rasti kitus ryšius (pvz., liestinę), susijusius su kai kuriais iš šių dydžių, bet manau, kad kol kas to pakanka.

Daugelį metų vienintelė matematika, kurią mokinys mokosi, yra skaliarinė matematika. Jei keliaujate 5 mylias į šiaurę ir 5 mylias į rytus, nukeliavote 10 mylių. Pridedant skaliarinius dydžius, nepaisoma visos informacijos apie kryptis.

Vektoriai manipuliuojami kiek kitaip. Jais manipuliuojant visada reikia atsižvelgti į kryptį.

Komponentų pridėjimas

Kai pridedate du vektorius, atrodo, kad paėmėte vektorius ir išdėstėte juos vienas nuo kito iki galo ir sukūrėte naują vektorių, einantį nuo pradžios taško iki pabaigos taško. Jei vektoriai turi tą pačią kryptį, tai reiškia tik dydžių pridėjimą, bet jei jie turi skirtingas kryptis, tai gali tapti sudėtingesnė.

Pridedate vektorius suskirstydami juos į komponentus ir pridėdami komponentus, kaip nurodyta toliau:

a + b = c
a_x + a_Y + b_x + b_Y =
( a_x + b_x ) + ( a_Y + b_Y ) = c_x + c_Y

Dviejų x komponentų rezultatas bus naujo kintamojo x komponentas, o du y komponentai – naujo kintamojo y komponentas.

Vektorių papildymo savybės

Vektorių pridėjimo tvarka nesvarbu. Tiesą sakant, keletas skaliarinio sudėjimo savybių galioja vektoriaus pridėjimui:

Vektoriaus papildymo tapatybės ypatybė
a + 0 = a
Atvirkštinė vektorių pridėjimo savybė
a + - a = a - a = 0
Vektorių papildymo atspindinčios savybės
a = a
Komutacinė nuosavybė vektoriaus papildymo
a + b = b + a
Asociatyvioji vektorių papildymo savybė
( a + b ) + c = a + ( b + c )
Vektoriaus papildymo pereinamoji savybė
Jeigu a = b ir c = b , tada a = c

Paprasčiausias veiksmas, kurį galima atlikti su vektoriumi, yra jį padauginti iš skaliaro. Šis skaliarinis dauginimas pakeičia vektoriaus dydį. Kitaip tariant, vektorius tampa ilgesnis arba trumpesnis.

Padauginus iš neigiamo skaliro, gautas vektorius bus nukreiptas priešinga kryptimi.

The skaliarinis produktas Dviejų vektorių skaičius yra būdas juos padauginti, kad būtų gautas skaliarinis dydis. Tai parašyta kaip dviejų vektorių daugyba, o taškas viduryje reiškia dauginimą. Todėl jis dažnai vadinamas taškinis produktas dviejų vektorių.

Norėdami apskaičiuoti dviejų vektorių taškinę sandaugą, atsižvelkite į kampą tarp jų. Kitaip tariant, jei jie turėtų tą patį pradžios tašką, koks būtų kampo matavimas ( teta ) tarp jų. Taškinis produktas apibrėžiamas taip:

a * b = ab cos teta

ab abba

Tais atvejais, kai vektoriai yra statmeni (arba teta = 90 laipsnių), cos teta bus nulis. Todėl, statmenų vektorių taškinė sandauga visada lygi nuliui . Kai vektoriai yra lygiagrečiai (arba teta = 0 laipsnių), cos teta yra 1, taigi skaliarinė sandauga yra tik dydžių sandauga.

Šie smulkūs faktai gali būti naudojami įrodyti, kad jei žinote komponentus, galite visiškai pašalinti teta poreikį naudodami (dvimatę) lygtį:

a * b = a_xb_x + a_Yb_Y

The vektorinis produktas yra parašyta formoje a x b , ir paprastai vadinamas kryžminis produktas dviejų vektorių. Šiuo atveju vektorius padauginame ir vietoj to, kad gautume skaliarinį dydį, gautume vektorinį dydį. Tai yra sudėtingiausias vektorių skaičiavimas, su kuriuo turėsime reikalų ne kintamasis ir apima baisaus panaudojimą dešinės rankos taisyklė , kurį netrukus pasieksiu.

Didumo apskaičiavimas

Vėlgi, mes svarstome du vektorius, nubrėžtus iš to paties taško su kampu teta tarp jų. Mes visada pasirenkame mažiausią kampą, todėl teta visada bus diapazone nuo 0 iki 180, todėl rezultatas niekada nebus neigiamas. Gauto vektoriaus dydis nustatomas taip:

Jeigu c = a x b , tada c = ab be teta

Lygiagrečių (arba antilygiagrečių) vektorių sandauga visada lygi nuliui

Vektoriaus kryptis

Vektoriaus sandauga bus statmena plokštumai, sukurtai iš tų dviejų vektorių. Jei įsivaizduojate, kad plokštuma yra plokščia ant stalo, kyla klausimas, ar gautas vektorius kyla aukštyn (mūsų „išeina“ iš lentelės iš mūsų perspektyvos) ar žemyn (arba „į“ lentelę, iš mūsų perspektyvos).

Baisioji dešinės rankos taisyklė

Norėdami tai išsiaiškinti, turite pritaikyti tai, kas vadinama dešinės rankos taisyklė . Kai mokykloje studijavau fiziką, aš nekenčiamas dešinės rankos taisyklė. Kiekvieną kartą, kai ją naudodavau, turėdavau ištraukti knygą, kad pažiūrėčiau, kaip ji veikia. Tikimės, kad mano aprašymas bus šiek tiek intuityvesnis nei tas, su kuriuo buvau supažindintas.

Jei turite a x b dešinę ranką padėsite išilgai b kad jūsų pirštai (išskyrus nykštį) galėtų išlenkti ir nukreipti išilgai a . Kitaip tariant, jūs tarsi bandote padaryti kampą teta tarp delno ir keturių dešinės rankos pirštų. Šiuo atveju nykštis bus prilipęs tiesiai į viršų (arba už ekrano, jei bandysite tai padaryti iki kompiuterio). Jūsų pirštai bus apytiksliai sulyginti su dviejų vektorių pradžios tašku. Tikslumas nėra būtinas, bet noriu, kad suprastumėte idėją, nes neturiu to nuotraukos.

Jei vis dėlto svarstote b x a , padarysite priešingai. Ištiessite dešinę ranką a ir rodykite pirštais b . Jei bandysite tai padaryti kompiuterio ekrane, jums tai bus neįmanoma, todėl pasitelkite savo vaizduotę. Pamatysite, kad šiuo atveju jūsų vaizduotės nykštys nukreiptas į kompiuterio ekraną. Tai yra gauto vektoriaus kryptis.

Dešinės rankos taisyklė rodo tokį ryšį:

a x b = - b x a

cabc

c_x = a_Yb_Su - a_Sub_Y
c_Y = a_Sub_x - a_xb_Su
c_Su = a_xb_Y - a_Yb_x

ab c_xc_Y c

Baigiamieji žodžiai

Aukštesniuose lygiuose su vektoriais dirbti gali būti labai sudėtinga. Visuose koledžo kursuose, tokiuose kaip tiesinė algebra, daug laiko skiriama matricoms (kurių šioje įžangoje maloniai vengiau), vektoriams ir vektorinės erdvės . Šis detalumo lygis nepatenka į šio straipsnio taikymo sritį, tačiau tai turėtų suteikti pagrindą, reikalingą daugumai vektorių manipuliavimo, atliekamo fizikos klasėje. Jei ketinate giliau studijuoti fiziką, studijuodami būsite supažindinti su sudėtingesnėmis vektorių sąvokomis.