Kas yra atvirkštinis, priešingas ir atvirkštinis?

Corbis / VCG per „Getty Images“ / „Getty Images“.

Sąlyginiai teiginiai pasirodo visur. Matematikoje ar kitur netrunka susidurti su kokia nors forma If P tada K . Sąlyginiai teiginiai iš tiesų yra svarbūs. Taip pat svarbūs teiginiai, kurie yra susiję su pirminiu sąlyginiu teiginiu keičiant poziciją P , K ir teiginio neigimas. Pradedant nuo originalaus teiginio, mes gauname tris naujus sąlyginius teiginius, kurie vadinami atvirkštiniu, prieštaringu ir atvirkštinis .

Neigimas

Prieš apibrėždami sąlyginio teiginio atvirkštinį, priešpriešinį ir atvirkštinį, turime išnagrinėti neigimo temą. Kiekvienas pareiškimas logika yra tiesa arba klaidinga. Teiginio neigimas tiesiog apima žodžio įterpimą ne į tinkamą teiginio dalį. Žodžio not pridėjimas daromas taip, kad jis pakeistų teiginio tiesos būseną.

Tai padės pažvelgti į pavyzdį. Pareiškimas The taisyklingas trikampis yra lygiakraštis turi neigimą Statusis trikampis nėra lygiakraštis. 10 neigimas yra lyginis skaičius, tai teiginys 10 nėra lyginis skaičius. Žinoma, šiame paskutiniame pavyzdyje galėtume naudoti nelyginio skaičiaus apibrėžimą ir vietoj to pasakyti, kad 10 yra nelyginis skaičius. Pastebime, kad teiginio tiesa yra priešinga neigimo tiesai.

Išnagrinėsime šią idėją abstrakčiau. Kai pareiškimas P yra tiesa, teiginys ne P yra klaidinga. Panašiai, jei P yra klaidingas, jo neigimas ne P tiesa. Neigimai paprastai žymimi tilde ~. Taigi užuot rašę ne P galime parašyti ~ P .

Priešingas, priešingas ir atvirkštinis

Dabar galime apibrėžti sąlyginio teiginio atvirkštinį, priešpriešinį ir atvirkštinį. Pradedame nuo sąlyginio teiginio If P tada K .

• Sąlyginio teiginio atvirkštinė pusė yra If K tada P .
• Sąlyginio teiginio kontrapozityvas yra Jei ne K tada ne P .
• Sąlyginio teiginio atvirkštinė pusė yra Jei ne P tada ne K .

Pažiūrėsime, kaip šie teiginiai veikia pateikdami pavyzdį. Tarkime, pradedame nuo sąlyginio teiginio Jei praeitą naktį lijo, vadinasi, šaligatvis šlapias.

• Sąlyginio teiginio priešingybė yra Jei šaligatvis šlapias, tai praėjusią naktį lijo.
• Sąlyginio teiginio kontrapozityvas yra Jei šaligatvis nėra šlapias, vadinasi, praėjusią naktį nelijo.
• Sąlyginio teiginio atvirkštinė pusė yra Jei praėjusią naktį nelijo, vadinasi, šaligatvis nėra šlapias.

Loginis ekvivalentiškumas

Galime stebėtis, kodėl svarbu šiuos kitus sąlyginius teiginius sudaryti iš mūsų pradinio. Atidus pažvelgimas į aukščiau pateiktą pavyzdį kai ką atskleidžia. Tarkime, kad originalus teiginys Jei praeitą naktį lijo, vadinasi, šaligatvis šlapias, yra teisingas. Kuris iš kitų teiginių taip pat turi būti teisingas?

• Priešingai Jei šaligatvis šlapias, vadinasi, praėjusią naktį lijo, tai nebūtinai tiesa. Šaligatvis gali būti šlapias dėl kitų priežasčių.
• Atvirkščiai Jei praėjusią naktį nelijo, vadinasi, šaligatvis nėra šlapias, tai nebūtinai tiesa. Vėlgi, tai, kad nelijo, nereiškia, kad šaligatvis nėra šlapias.
• Prieštaravimas Jei šaligatvis nėra šlapias, vadinasi, praėjusią naktį nelijo, yra tikras teiginys.

Tai, ką matome iš šio pavyzdžio (ir ką galima įrodyti matematiškai), yra tai, kad sąlyginis teiginys turi tokią pat tiesos reikšmę kaip ir jo prieštaravimas. Sakome, kad šie du teiginiai yra logiškai lygiaverčiai. Taip pat matome, kad sąlyginis teiginys logiškai nėra lygiavertis jo atvirkštiniam ir atvirkštiniam.

Kadangi sąlyginis teiginys ir jo kontrapozityvas yra logiškai lygiaverčiai, tai galime panaudoti savo naudai, kai įrodinėjame matematines teoremas. Užuot tiesiogiai įrodę sąlyginio teiginio teisingumą, galime naudoti netiesioginę įrodinėjimo strategiją, kad įrodytume to teiginio prieštaringumą. Prieštaringi įrodymai veikia, nes jei prieštaravimas yra teisingas, dėl loginio ekvivalentiškumo pirminis sąlyginis teiginys taip pat yra teisingas.

Pasirodo, kad nors atvirkštinis ir atvirkštinis logiškai nėra lygiaverčiai pirminiam sąlyginiam teiginiui , jie logiškai lygiaverčiai vienas kitam. Tam yra lengvas paaiškinimas. Pradedame nuo sąlyginio teiginio If K tada P . Šio teiginio priešingybė yra Jei ne P tada ne K . Kadangi atvirkštinė vertė yra priešinga, atvirkštinė ir atvirkštinė yra logiškai lygiavertės.