Kas yra neigiamas binominis skirstinys?

Tatjana Kolesnikova/Getty Images

Neigiamas binominis skirstinys yra a tikimybių skirstinys kuris naudojamas su diskretiniais atsitiktiniais dydžiais. Šis paskirstymo tipas yra susijęs su bandymų skaičiumi, kuris turi įvykti, kad būtų iš anksto nustatytas sėkmingų rezultatų skaičius. Kaip matysime, neigiamas binominis skirstinys yra susijęs su binominis skirstinys . Be to, šis skirstinys apibendrina geometrinį pasiskirstymą.

Nustatymas

Pradėsime nuo nustatymo ir sąlygų, dėl kurių atsiranda neigiamas binominis skirstinys. Daugelis šių sąlygų yra labai panašios į dvinarį nustatymą.

1. Mes atliekame Bernulio eksperimentą. Tai reiškia, kad kiekvienas mūsų atliktas bandymas turi aiškiai apibrėžtą sėkmę ir nesėkmę ir kad tai yra vieninteliai rezultatai.
2. Sėkmės tikimybė yra pastovi, nesvarbu, kiek kartų atliktume eksperimentą. Šią pastovią tikimybę žymime a p.
3. Eksperimentas kartojamas X nepriklausomi bandymai, o tai reiškia, kad vieno tyrimo rezultatas neturi įtakos kito tyrimo rezultatams.

Šios trys sąlygos yra identiškos binominio skirstinio sąlygoms. Skirtumas tas, kad binominis atsitiktinis kintamasis turi fiksuotą skaičių bandymų n. Vienintelės vertybės X yra 0, 1, 2, ..., n, taigi tai yra baigtinis skirstinys.

Neigiamas binominis skirstinys yra susijęs su bandymų skaičiumi X tai turi įvykti tol, kol turėsime r sėkmės. Skaičius r yra sveikas skaičius, kurį pasirenkame prieš pradėdami bandymus. Atsitiktinis kintamasis X vis dar yra diskretiškas. Tačiau dabar atsitiktinis kintamasis gali įgyti reikšmes X = r, r+1, r+2, ... Šis atsitiktinis kintamasis yra skaičiuojamai begalinis, nes gali prireikti savavališkai daug laiko, kol jį gausime r sėkmės.

Pavyzdys

Kad būtų lengviau suprasti neigiamą dvinarį skirstinį, verta apsvarstyti pavyzdį. Tarkime, kad mes metame sąžiningą monetą ir užduodame klausimą: „Kokia tikimybė, kad pirmą kartą gausime tris galvas X monetos meta?' Tokia situacija reikalauja neigiamo binominio skirstinio.

Monetų metimas turi du galimus rezultatus: sėkmės tikimybė yra pastovi 1/2, o bandymai jie nepriklauso vienas nuo kito. Mes klausiame tikimybės gauti pirmąsias tris galvas X monetų vartymo. Taigi monetą turime apversti bent tris kartus. Tada vartome, kol pasirodys trečioji galva.

Norint apskaičiuoti tikimybes, susijusias su neigiamu binominiu skirstiniu, mums reikia daugiau informacijos. Turime žinoti tikimybių masės funkciją.

Tikimybių masės funkcija

Tikimybės masės funkcija neigiamam dvinario skirstiniui gali būti sukurta šiek tiek apgalvojus. Kiekvienas bandymas turi sėkmės tikimybę p. Kadangi galimi tik du rezultatai, tai reiškia, kad gedimo tikimybė yra pastovi (1 - p ).

The r sėkmė turi įvykti x ir paskutinis teismo procesas. Ankstesnis x - Tiksliai turi būti 1 bandymas r - 1 sėkmės. Būdų, kuriais tai gali įvykti, skaičius nustatomas pagal derinių skaičių:

C( x -1, r -1) = (x - 1)!/[(r - 1)!( x - r )!].

Be to, mes turime nepriklausomus įvykius, todėl galime kartu padauginti savo tikimybes. Sudėjus visa tai, gauname tikimybės masės funkciją

f ( x ) =C( x -1, r -1) p ^r (1 - p ) ^{x - r}.

Platinimo pavadinimas

Dabar galime suprasti, kodėl šis atsitiktinis kintamasis turi neigiamą binominį skirstinį. Derinių, su kuriais susidūrėme aukščiau, skaičius gali būti parašytas skirtingai nustatant x – r = k:

(x - 1)!/[(r - 1)!( x - r )!] = ( x + k - 1)!/[(r - 1)! k !] = ( r + k -1)( x + k -2) . . . (r + 1) (r)/ k ! = (-1) ^k (-r) (-r - 1). . .(-r -(k + 1)/k!.

Čia matome neigiamo dvejetainio koeficiento atsiradimą, kuris naudojamas, kai binominę išraišką (a + b) pakeliame į neigiamą laipsnį.

Vidutiniškai

Svarbu žinoti skirstinio vidurkį, nes tai yra vienas iš būdų pažymėti skirstinio centrą. Šio tipo atsitiktinių dydžių vidurkis pateikiamas pagal jo numatomą reikšmę ir yra lygus r / p . Tai galime kruopščiai įrodyti naudodami momento generavimo funkcija šiam paskirstymui.

Intuicija mus taip pat veda prie šios išraiškos. Tarkime, kad atliekame keletą bandymų n ₁kol gausime r sėkmės. Ir tada mes tai darome dar kartą, tik šį kartą reikia n _duišbandymai. Tęsiame tai vėl ir vėl, kol turėsime daug bandymų grupių N = n ₁+ n _du+ . . . + n _k.

Kiekvienas iš šių k bandymuose yra r sėkmės, todėl turime iš viso DKK sėkmės. Jeigu N yra didelis, tada tikėtume pamatyti apie Pvz sėkmės. Taigi mes sulyginame juos kartu ir turime kr = Np.

Mes atliekame algebrą ir tai randame N / k = r / p. Kairėje šios lygties pusėje esanti trupmena yra vidutinis bandymų, reikalingų kiekvienam iš mūsų k bandymų grupės. Kitaip tariant, tai yra numatomas eksperimento kartų skaičius, kad iš viso turėtume r sėkmės. Būtent tai ir norime rasti. Matome, kad tai lygu formulei r / p.

Dispersija

Neigiamo dvinario skirstinio dispersiją taip pat galima apskaičiuoti naudojant momento generavimo funkciją. Kai tai darome, matome, kad šio skirstinio dispersija pateikiama pagal šią formulę:

r(1 - p )/ p ^du

Momento generavimo funkcija

Šio tipo atsitiktinių dydžių momentų generavimo funkcija yra gana sudėtinga. Prisiminkite, kad momento generavimo funkcija apibrėžiama kaip laukiama vertė E[e^tX]. Naudodami šį apibrėžimą su mūsų tikimybių masės funkcija, turime:

M(t) = E[e^tX] = Σ (x - 1)!/[(r - 1)!( x - r )!] ir^tX p ^r (1 - p ) ^{x - r}

Po tam tikros algebros tai tampa M(t) = (pe^t)^r[1-(1-p)e^t]^-r

Ryšys su kitais platinimais

Aukščiau matėme, kaip neigiamas binominis skirstinys daugeliu atžvilgių yra panašus į dvinarį skirstinį. Be šio ryšio, neigiamas binominis skirstinys yra bendresnė geometrinio skirstinio versija.

Geometrinis atsitiktinis dydis X skaičiuoja bandymų skaičių, reikalingą iki pirmos sėkmės. Nesunku pastebėti, kad tai yra būtent neigiamas binominis skirstinys, bet su r lygus vienam.

Yra ir kitų neigiamo dvinario skirstinio formuluočių. Kai kurie vadovėliai apibrėžia X būti bandymų skaičius iki r atsiranda gedimų.

Problemos pavyzdys

Pažiūrėsime į problemos pavyzdį, kad pamatytume, kaip dirbti su neigiamu binominiu skirstiniu. Tarkime, kad krepšininkas yra 80% baudos metimo metimo metimas. Be to, tarkime, kad vieno baudos metimo metimas nepriklauso nuo kito. Kokia tikimybė, kad šiam žaidėjui aštuntas krepšys įmuštas dešimtu baudos metimu?

Matome, kad turime neigiamo dvinario skirstinio nustatymą. Pastovi sėkmės tikimybė yra 0,8, taigi nesėkmės tikimybė yra 0,2. Norime nustatyti X=10 tikimybę, kai r = 8.

Įtraukiame šias reikšmes į savo tikimybių masės funkciją:

f(10) =C(10-1, 8-1) (0,8)⁸(0,2)^du= 36 (0,8)⁸(0,2)^du, tai yra maždaug 24 proc.

Tada galėtume paklausti, koks yra vidutinis baudų metimų skaičius, kol šis žaidėjas atlieka aštuonis iš jų. Kadangi numatoma vertė yra 8/0,8 = 10, tai yra kadrų skaičius.