Matematikos filosofijos pagrindų problemos

Paprasčiausi klausimai matematikos filosofijoje nurodo gilias problemas: kodėl 1+1 = 2? Kodėl teiginys '1+1 = 2' jausti taip labai skiriasi nuo tokio teiginio kaip „vakar lijo“? Kalbant apie tai, ką mes netgi turime omenyje sakydami „1“, „2“, …? Ar „1“ egzistuoja? Jei taip, kaip ir kur? Šie klausimai buvo prieinami filosofams tol, kol buvo praktikuojama matematika. Jie, kaip ir daugelis filosofijos klausimų, yra labai bendri ir į juos labai sunku atsakyti – norint įprasminti tokius teiginius kaip „1+1 = 2“, atrodo, kad reikia daug filosofinės mašinos, kaip buvo ikimodernūs veržimai į matematikos filosofiją. Nuo Platono iki Leibnizo ir Kanto atsakymai į aukščiau pateiktus klausimus vedė į didesnę sistemą: matematikos filosofiją ir sudarė jos dalį.

Matematikos filosofija: nuo paprasčiausių iki sudėtingiausių klausimų

Tiek matematika, tiek filosofija siaubingai pasikeitė per trumpą laiką. Seni rūpesčiai vis dar vadovauja tyrimui: matematikos filosofai turi nustatyti, kokia egzistencija suteikiama tokiems objektams kaip „1“ ir „ratas“, o kokia tiesa tokiems teiginiams kaip „1+1 = 2“. Tačiau šiuolaikinė matematika užduoda filosofams naujų ir nerimą keliančių klausimų ir nurodo objektus, kurių prigimtį nustatyti dar sunkiau. Šie klausimai sugalvojo tokius įvairius ir, atrodo, nesuderinamus atsakymus, kad matematikos filosofija gali atrodyti kaip keista sporto šaka, kurioje žmogus pasirenka vieną pusę ir religingai ją gina nuo visų kitų. Svarbu pastebėti, kad „pusių“ yra tiek daug, kad būtų neįmanoma tikėtis jas visų aprėpti tokioje trumpoje įžangoje, kurią šiuo metu skaitote.

Tai visiškai nereiškia, kad matematikos filosofija patiria didesnį nuomonių įvairovę nei kitos filosofijos sritys. Tačiau norint pajusti sudėtingą matematikos filosofinį mąstymą, geriausia nepamiršti matematinių rūpesčių, kurie yra už šių įvairių mokyklų. Keistas matematikos filosofijos bruožas yra tendencija, kad tikra matematika, o ne tik filosofija, išdygsta iš filosofinių tyrinėjimų, o matematinė pažanga susiduria su giliais pamatiniais klausimais. Viena vertus, matematikos filosofija ir, kita vertus, metamatematika (matematikos pagrindų tyrimas naudojant matematines technikas) yra gana tiesiogiai istoriškai susijusios ir kiekviena iš jų tampa vis svarbesnė kitai.

David Hilbert: Puikus matematikos (filosofijos) projektas

Pažvelkime į istorinę lanką, liečiančią daugelį pagrindinių matematikos filosofijos klausimų, grynosios filosofijos ir grynosios matematikos sąveikos mikrokosmosą: matematiko Davido Hilberto projektą ir ypač jo ginčą su kitu įtakingu mąstytoja. , L.E.J. Brouwer. Kai grynoji matematika subrendo XIX amžiuje ir atsitiko vis labiau abstrakčioms ir neintuityvesnėms sąvokoms, matematikai ir filosofai aiškiai suprato, kad reikia rimtai išnagrinėti dalyko pagrindus. Tarp jų buvo ir Hilbertas, pagrindinis veikėjas, siekiantis praktiškai sukurti logiško ir tvirto dalyko pagrindus. Jis tikėjosi paversti konkretų požiūrį, kad matematika yra tobulas, racionalus mokslas, kuriam pritaria tiek daug filosofų.

Hilberto mintis paskatino tai, kas jo laikais buvo labai moderni matematikos raida. Visų pirma jis norėjo suteikti nuolatinį matematikos namus transfinitas . Darbas Bolzanas ir Kantoras aibių teorijoje (aibė naiviai yra tik daiktų rinkinys, sutvarkytas pagal etiketę) rimtai ir griežtai nagrinėjo idėją tikroji begalybė; tai yra, begaliniams objektams suteikiamas jų pačių egzistavimas. Pavyzdžiui, rinkinys visi sveikieji skaičiai {1, 2, ...} kaip savarankiškas objektas yra faktinis begalinis skaičius; kita vertus, kalbant tik apie savavališkai didelius skaičius, reikia tik sąvokos potencialas begalinis, kuris šimtmečius buvo matematikų ontologinėje įrankių dėžėje. Visų amžių filosofai padarė šį skirtumą – pati tikrojo begalybės samprata nebuvo nauja. Nepaisant to, Kantoras pirmą kartą atkreipė dėmesį į aibių teoriją. Svarbiausia buvo paprastas būdas permąstyti skaičiaus sąvoką.

Rinkiniai, skaičiavimas ir begalybė

Mūsų kasdienė idėja apie rinkinio dydis redukuojasi į paprastą skaičiavimą: duodami dvi daiktų kolekcijas, galime pasakyti, ar jie yra vienodo dydžio, suskaičiavę kiekvienos kolekcijos daiktus ir palyginę atsakymus – aš turiu tris obuolius, tu turi tris bananus. Cantor įsigilino į sąvoką „būti tokio pat dydžio kaip“ ir abstrahavo sąvoką asmeninis susirašinėjimas: rinkiniai yra tokio pat dydžio, kaip vienas kitas, jei galima susieti jų elementus – jei kiekvienam jūsų bananui galiu priskirti būtent vieną iš savo obuolių. Tačiau naudojant šią paprastą abstrakciją nemokamai galime kalbėti apie begalinių aibių „dydį“: galime pavadinti dvi begalines kolekcijas tokio paties dydžio, jei galime jas sudėti į tokį „vienas su vienu“ atitikmenį. Kaip paaiškėja, yra begalinių aibių, kurių negalima susieti vienas su vienu tokiu būdu. Pavyzdžiui, būna „daugiau“ realūs skaičiai (ty visos skaičių eilutės – begaliniai dešimtainiai ir visi) nei sveikieji skaičiai, nepaisant to, kad abu rinkiniai yra begaliniai.

Kantoro teorema: begalinės begalybės

Pasidaro keisčiau - Kantoro teorema iš esmės mums sako, kad yra daug skirtingų begalinių: iš tikrųjų be galo daug, o atsižvelgiant į bet kokią begalinę kolekciją, visada yra didesnė. Šis naujas būdas nagrinėti skaičiaus sąvoką paskatino ištirti kardinolai, kurios tam tikra prasme yra radikalus skaičiavimo išplėtimas, leidžiantis kalbėti apie visokias faktines begalybes.

Dėl šių keistų reiškinių daugelis pirmaujančių matematikų ryžtingai stumiasi prieš šią naują tikrąją begalybę, pavyzdžiui, Henri Poincaré, kuris pareiškė, kad „Tikros begalybės nėra, kantoriečiai tai pamiršo ir pateko į prieštaravimą“. Kantoro idėjos, nors dabar beveik visur paplitusios matematikoje, iš pradžių nebuvo populiarios.

Tačiau kai kuriems – tarp jų ir Hilbertui – šis atitrūkimas nuo baigtinio buvo didelė pergalė laisvam matematikos vystymuisi. Hilbertui Kantoro begalybės matematinis patikimumas buvo labai estetinės svarbos dalykas, kaip galima suprasti iš jo pagarsėjusios citatos: „F. iš rojaus, kurį Kantoras mums sukūrė, niekas negalės mūsų išvaryti “.

Matematinis realizmas prieš matematinį formalizmą

Matematikos filosofijos požiūrių skirtumus iš dalies galima sukalibruoti požiūriu į šias naujas begalybes. Hilberto požiūriu jis buvo visiškai priešingas kitam iškiliam mąstytojui L. E. J. Brouweriui, dėl kurio kilo liūdnai pagarsėjusi filosofinė konkurencija.

Hilbertas matematiką laikė tam tikru žaidimu, kuris vien tik manipuliuoja simboliais pagal tam tikras taisykles. formalizmas . Šis požiūris nebūtinai draudžia interpretuoti šį „formulių žaidimą“ kaip taip ar kitaip susijusį su tikrove, tačiau iš esmės jis reikalauja mažiau atsidavimo probleminėms matematinėms „esybėms“, nei senesnėms formų formoms. matematinis realizmas , toks kaip platonizmas (vaizdas, žinoma, grįžta į Patiekalas , kuri teigia, kad matematiniai objektai, tokie kaip „1“ ir „apskritimas“, iš tikrųjų egzistuoja kaip išliekantys objektai tokiu būdu, kuris nepriklauso nuo mūsų ir mūsų supratimo apie juos). Brouwer matematiką suprato trečiuoju būdu, radikaliai skiriasi nuo abiejų šių perspektyvų.

Viena iš geriau žinomų Hilberto teoremų ir esminių nesutarimų tarp jo ir Brouwer branduolys yra jo vadinamasis. Pagrindo teorema . Smulkesnės detalės yra nesvarbios: tai, kas buvo įdomu filosofams, o prieštaraujanti Brouweriui, buvo būdas, kuriuo Hilbertas tai įrodė. Hilberto pagrindo teorema yra an egzistencijos teorema – ji įgauna formą „ yra bent vienas X'. Matematikai, kuriems pavesta parodyti, kad „yra bent vienas X“, gali pasirinkti vieną iš dviejų būdų: jie turi arba parodyti, kaip rasti tokį X, arba parodyti, kad jis yra neįmanomas kad nėra tokio X. Pirmosios rūšies įrodymai vadinami konstruktyvus , o vadinami antrosios rūšies įrodymai nekonstruktyvus. Hilberto pagrindo teoremos įrodymas buvo nekonstruktyvus. Brouweris iškėlė problemą: jis įkūrė ir aistringai gynė požiūrį į matematinę filosofiją, žinomą kaip intuicionizmas .

Intuicizmas ir konstruktyvizmas

Intuityvistas atsisako laikyti matematinius objektus daiktais, kurie nebuvo sukonstruoti proto veikla. Brouweriui nekonstruktyvūs įrodinėjimo būdai, kaip naudojo Hilbertas, buvo rimtų problemų. Platesnė matematinės filosofijos mokykla, kuri atmeta šiuos nekonstruktyvius įrodymus, yra žinoma kaip konstruktyvizmas . Konstruktyvistai dažnai atmeta faktinės begalybės egzistavimą matematikoje, kuri kaip nepriklausomas požiūris yra žinomas kaip finitizmas (kartu su gana pakraščiu pusbroliu, ultrafinitizmas , kuri atmeta net baigtinius objektus, kurie yra „per dideli, kad būtų galima pagrįstai sukonstruoti“). Taigi Hilbertas ir Brouweris pasiūlė ne tik skirtingus požiūrius į matematinių objektų tikrovę ir pagrįstumą, bet ir iš esmės skirtingus matematikos būdus.

Abu sukūrė naują pačios matematinės logikos tyrimą: intuityvistinė logika tiria logines sistemas be atstumtosios vidurio dėsnio ir iki šių dienų yra aktyvi tyrimų sritis. Tačiau dar žinoma, kad ankstyvojo formalistinio Hilberto požiūrio optimistinis tikslas buvo sukurti aksiomatinę sistemą (aksiomos yra pradiniai teiginiai, kurie visada laikomi teisingomis), iš kurios būtų galima išvesti visą matematiką ir kuri pati neturėjo prieštaravimų. Šios sąvokos – atitinkamai vadinamos užbaigtumas ir nuoseklumas matematinės logikos - abu atrodė visiškai protingi dalykai, kurių reikia paklausti jūsų pasirinktų matematinių pagrindų.

1900 m. Hilbertas paskelbė 23 uždavinių, kurie, jo nuomone, buvo pažangiausi tuometinės matematikos, sąrašą. Antroji sąrašo dalis buvo parodyti, kad jo aritmetikos aksiomos buvo nuoseklios. Ši aksiomų sistema pasiūlė mums įprastas pagrindines aritmetines struktūras – skaičius, sudėtį, atimtį ir kt. – ir, kaip tikėtasi, buvo pakankamai galinga, kad formalizuotų likusią matematikos dalį.

Gödelio neužbaigtumo teorema: bėdos rojuje

Šiuo metu liūdnai pagarsėjusios dvi Kurto Gödelio neužbaigtumo teoremos sustabdė labiau žvaigždėtas Hilberto projekto interpretacijas, parodydamos, kad Nr aksiomų sistema, kurioje yra aritmetika, gali įrodyti savo nuoseklumą. Tai tikslios ir subtilios loginės teoremos, o filosofai atsargiai svarstė jų pasekmes matematiniam realizmui (pats Gödelis vis dar buvo atsidavęs platonistas).

Nors Hilberto programa nebuvo būtinai visiškai sustojus po Gödelio, teoremos buvo matematinės logikos takoskyros momentas ir nuo to laiko yra nesibaigiančių filosofinių diskusijų objektas. Hilberto požiūris nebuvo nei pirmasis, nei paskutinis žodis apie aksiomatinius matematikos pagrindus. Buvo daug didelių projektų.

Frege'as, o vėliau Russellas, vadovavo logikas požiūris, kuriuo buvo siekiama matematines teoremas redukuoti į logikos teiginius. Russellas Frege'o požiūryje rado rimtą problemą – viena iš jo aksiomų, leidžiančių sukurti aibę, pasitelkiant visų dalykų, tenkinančių tam tikrą savybę, aibę, susidūrė su prieštaravimu, dabar žinomu kaip Raselio paradoksas: kad visų aibių, kuriose nėra savęs pačių, aibę, yra beprasmiškas subjektas, leidžia šis įstatymas. Savo ruožtu atrodė, kad Gödelio teoremos stabdė paties Russello logikos ambicijas, o matematikai pasuko į ne tokius ambicingus metodus. Frege'as ir Russellas buvo neatskiriami ankstyvam jo vystymuisi Liudvikas Vitgenšteinas , kurio darbai turi platų spektrą tolesnių pasekmių matematikos filosofijai, įskaitant logikos statusą ir jų santykį su natūralia kalba.

Seni klausimai, nauji klausimai: matematikos filosofijos ateitis

Galiausiai aibių teorijos aksiomatizavimo problemos sprendimas buvo rastas Zermelo-Fraenkel aksiomų forma (kartu su pasirinkimo aksioma, istoriškai prieštaringa, jei šiandien mažiau)... Praktiškai ši ontologija, kurioje yra tik vienas objektas, a rinkinys , iš kurio viskas sukonstruota – šiais laikais matematikai yra „numatytasis“ (nors jokiu būdu ne vienintelis pasirinkimas).

Zermelo-Fraenkel aibių teorija slypi kelyje nuo filosofinių spekuliacijų iki konkrečių matematinių žinių – dabar ji pati yra matematinis objektas, kurį tyrinėja logikai. Bet kaip ir Kantoro samprata rinkinys metė iššūkį filosofų mąstymui apie matematiką, todėl naujesnės abstrakcijos pradeda daryti tą patį, nes atsiranda ir išnyksta nauji pamatiniai požiūriai. Seni klausimai ne tik tebėra nauji, bet ir iš naujų matematikos idėjų kyla nauji klausimai, kurie niekada neužims filosofų, nes filosofijos ir matematikos sąveika gilėja.