Normalus binominio skirstinio aproksimacija

Mattas Cardy / Getty Images

Atsitiktiniai kintamieji su dvejetainiu skirstiniu yra žinomi kaip diskretiški. Tai reiškia, kad yra nesuskaičiuojamas skaičius baigčių, kurios gali atsirasti dvinariame skirstinyje, atskiriant šiuos rezultatus. Pavyzdžiui, dvinario kintamojo reikšmė gali būti trys arba keturi, bet ne skaičius tarp trijų ir keturių.

Dėl atskiro dvinario skirstinio pobūdžio šiek tiek stebina tai, kad nuolatinis atsitiktinis kintamasis gali būti naudojamas binominiam skirstiniui aproksimuoti. Daugumai binominiai skirstiniai , galime naudoti normalųjį skirstinį, kad apytiksliai apskaičiuotume dvinario tikimybę.

Tai galima pastebėti pažiūrėjus n monetų mėtymas ir nuoma X būti galvų skaičius. Šioje situacijoje turime binominį skirstinį su sėkmės tikimybe kaip p = 0,5. Didindami metimų skaičių, matome, kad tikimybė histograma vis labiau primena normalųjį pasiskirstymą.

Įprasto aproksimavimo pareiškimas

Kiekvienas normalus skirstinys yra visiškai apibrėžtas dviem realūs skaičiai . Šie skaičiai yra vidurkis, kuris matuoja pasiskirstymo centrą ir standartinis nuokrypis , kuris matuoja pasiskirstymo plitimą. Tam tikroje dvinario situacijoje turime turėti galimybę nustatyti, kurį normalųjį skirstinį naudoti.

Teisingo normaliojo skirstinio pasirinkimą lemia bandymų skaičius n binominėje aplinkoje ir nuolatinė sėkmės tikimybė p kiekvienam iš šių bandymų. Įprasta mūsų dvinario kintamojo aproksimacija yra vidurkis pvz. ir standartinis nuokrypis ( pvz. (1 - p )^0.5.

Pavyzdžiui, tarkime, kad atspėjome kiekvieną iš 100 testo su atsakymų variantais klausimų, kur kiekvienas klausimas turėjo vieną teisingą atsakymą iš keturių pasirinkimų. Teisingų atsakymų skaičius X yra binominis atsitiktinis kintamasis su n = 100 ir p = 0,25. Taigi šio atsitiktinio dydžio vidurkis yra 100 (0,25) = 25, o standartinis nuokrypis yra (100 (0,25) (0,75))^0.5= 4,33. Normalus skirstinys su vidurkiu 25 ir standartiniu nuokrypiu 4,33 padės aproksimuoti šį dvinarį skirstinį.

Kada tinkamas suderinimas?

Naudojant tam tikrą matematiką galima parodyti, kad yra keletas sąlygų, kurioms reikia naudoti įprastą aproksimaciją binominis skirstinys . Stebėjimų skaičius n turi būti pakankamai didelis, o vertė p kad abu pvz. ir n (1 - p ) yra didesni arba lygūs 10. Tai yra nykščio taisyklė, kuri vadovaujasi statistikos praktika. Visada galima naudoti įprastą aproksimaciją, tačiau jei šios sąlygos nėra tenkinamos, aproksimacija gali būti ne tokia gera.

Pavyzdžiui, jei n = 100 ir p = 0,25, tada pateisinama naudoti normalią aproksimaciją. Tai yra, nes pvz. = 25 ir n (1 - p ) = 75. Kadangi abu šie skaičiai yra didesni už 10, tinkamas normalusis skirstinys gana gerai įvertins dvinario tikimybę.

Kodėl verta naudoti aproksimaciją?

Binominės tikimybės apskaičiuojamos naudojant labai paprastą formulę, kad būtų galima rasti binominį koeficientą. Deja, dėl faktorialai formulėje gali būti labai lengva susidurti su skaičiavimo sunkumais dvinario formulę. Normalioji aproksimacija leidžia apeiti bet kurią iš šių problemų, dirbant su pažįstamu draugu, standartinio normalaus skirstinio verčių lentele.

Daug kartų sunku nustatyti tikimybę, kad dvinarinis atsitiktinis kintamasis patenka į verčių diapazoną. Taip yra todėl, kad norint rasti tikimybę, kad dvinario kintamasis X yra didesnis nei 3 ir mažesnis nei 10, turėtume rasti tikimybę, kad X lygus 4, 5, 6, 7, 8 ir 9, tada sudėkite visas šias tikimybes. Jei galima naudoti įprastą aproksimaciją, vietoj to turėsime nustatyti z balus, atitinkančius 3 ir 10, ir tada naudoti z balų tikimybių lentelę. standartinis normalusis skirstinys .