Reikšmingų skaičių naudojimas tiksliam matavimui
CC BY 2.0/Flickr/US Army RDECOM
Atliekant matavimą, a mokslininkas gali pasiekti tik tam tikrą tikslumo lygį, kurį riboja naudojami įrankiai arba fizinis situacijos pobūdis. Ryškiausias pavyzdys yra atstumo matavimas.
Apsvarstykite, kas atsitinka matuojant atstumą, kurį objektas pajudėjo naudojant matavimo juostą (metriniais vienetais). Greičiausiai matavimo juosta suskirstyta į mažiausius milimetrų vienetus. Todėl jokiu būdu negalite išmatuoti didesniu nei milimetro tikslumu. Jei objektas pasislenka 57,215493 milimetrų, tai galime tiksliai pasakyti, kad jis pasislinko 57 milimetrus (arba 5,7 centimetro arba 0,057 metro, priklausomai nuo to, kokioje situacijoje pageidaujate).
Apskritai toks apvalinimo lygis yra geras. Tikslus normalaus dydžio objekto judėjimas iki a milimetras iš tikrųjų būtų gana įspūdingas pasiekimas. Įsivaizduokite, kad bandote išmatuoti automobilio judėjimą milimetro tikslumu ir pamatysite, kad apskritai tai nėra būtina. Tais atvejais, kai toks tikslumas yra būtinas, naudosite įrankius, kurie yra daug sudėtingesni nei matavimo juosta.
Reikšmingų skaičių skaičius matavime vadinamas skaičiumi reikšmingi skaičiai numerio. Ankstesniame pavyzdyje 57 milimetrų atsakymas suteiktų 2 reikšmingus mūsų matavimo skaičius.
Nuliai ir reikšmingi skaičiai
Apsvarstykite skaičių 5200.
Jei nenurodyta kitaip, įprasta manyti, kad reikšmingi yra tik du skaitmenys, kurie skiriasi nuo nulio. Kitaip tariant, daroma prielaida, kad šis skaičius buvo suapvalinti šimto tikslumu.
Tačiau jei skaičius parašytas kaip 5 200,0, tada jame būtų penki reikšminiai skaitmenys. Dešimtainis kablelis ir po jo einantis nulis pridedami tik tuo atveju, jei matavimas yra tikslus iki tokio lygio.
Panašiai skaičius 2,30 turėtų tris reikšmingas skaitmenis, nes nulis pabaigoje rodo, kad mokslininkas, atliekantis matavimą, tai atliko tokiu tikslumo lygiu.
Kai kuriuose vadovėliuose taip pat įdiegta nuostata, kad kablelis sveikojo skaičiaus pabaigoje taip pat reiškia reikšmingus skaičius. Taigi 800. turėtų tris reikšmingus skaičius, o 800 – tik vieną reikšmingą skaičių. Vėlgi, tai šiek tiek skiriasi priklausomai nuo vadovėlio.
Toliau pateikiami keli skirtingų reikšmingų skaičių pavyzdžiai, kurie padės sustiprinti koncepciją:
Viena reikšminga figūra
4
900
0,00002
Du reikšmingi skaičiai
3.7
0,0059
68 000
5.0
Trys reikšmingi skaičiai
9.64
0,00360
99 900
8.00 val
900. (kai kuriuose vadovėliuose)
Matematika su reikšmingomis figūromis
Moksliniai skaičiai pateikia kitokias matematikos taisykles nei tos, su kuriomis esate supažindinti matematikos pamokoje. Svarbiausia naudojant reikšmingus skaičius yra būti tikram, kad atlikdami skaičiavimus išlaikote tą patį tikslumo lygį. Matematikoje išlaikote visus savo rezultato skaičius, o moksliniame darbe dažnai apvalinate pagal reikšmingus skaičius.
Pridedant arba atimant mokslinius duomenis, svarbu tik paskutinis skaitmuo (skaitmuo, esantis toliausiai į dešinę). Pavyzdžiui, tarkime, kad pridedame tris skirtingus atstumus:
5,324 + 6,8459834 + 3,1
Pirmasis sudėties uždavinio terminas turi keturis reikšmingus skaitmenis, antrasis – aštuonis, o trečiasis – tik du. Tikslumas šiuo atveju nustatomas trumpiausiu kableliu. Taigi atliksite savo skaičiavimą, tačiau vietoje 15,2699834 rezultatas bus 15,3, nes suapvalinsite iki dešimtosios vietos (pirma vieta po kablelio), nes tuo tarpu du iš jūsų matavimai yra tikslesni, trečias negali pasakyti nieko daugiau nei dešimtoji vieta, todėl šios sudėjimo problemos rezultatas taip pat gali būti toks tikslus.
Atkreipkite dėmesį, kad jūsų galutinis atsakymas šiuo atveju turi tris reikšmingus skaičius nė vienas iš jūsų startinių numerių padarė. Pradedantiesiems tai gali būti labai painu, todėl svarbu atkreipti dėmesį į šią sudėties ir atimties savybę.
Kita vertus, dauginant arba dalijant mokslinius duomenis reikšmingų skaičių skaičius turi reikšmės. Padauginus reikšminius skaičius visada bus gautas sprendimas, kurio reikšminiai skaičiai bus tokie patys kaip ir mažiausi reikšmingi skaičiai, nuo kurių pradėjote. Taigi, pereikime prie pavyzdžio:
5 638 x 3,1
Pirmasis veiksnys turi keturis reikšmingus skaičius, o antrasis veiksnys turi du reikšmingus skaičius. Todėl jūsų sprendimas bus sudarytas iš dviejų reikšmingų skaičių. Šiuo atveju jis bus 17, o ne 17.4778. Jūs atliekate skaičiavimą tada suapvalinkite sprendimą iki reikiamo reikšmingųjų skaičių skaičiaus. Papildomas daugybos tikslumas nepakenks, jūs tiesiog nenorite pateikti klaidingo tikslumo lygio galutiniame sprendime.
Naudojant mokslinį žymėjimą
Fizika nagrinėja kosmoso sritis nuo mažesnio nei protono dydžio iki visatos dydžio. Taigi jūs susiduriate su labai dideliais ir labai mažais skaičiais. Paprastai tik keli pirmieji iš šių skaičių yra reikšmingi. Niekas nesiruošia (arba negali) išmatuoti visatos pločio milimetro tikslumu.
Pastaba
Šioje straipsnio dalyje kalbama apie manipuliavimą eksponentiniais skaičiais (t. y. 105, 10-8 ir kt.) ir daroma prielaida, kad skaitytojas supranta šias matematines sąvokas. Nors daugeliui studentų ši tema gali būti sudėtinga, šiame straipsnyje ji nenagrinėjama.
Siekdami lengvai manipuliuoti šiais skaičiais, mokslininkai naudojasi mokslinis KOMENTARAS . Reikšmingi skaičiai pateikiami sąraše, tada padauginami iš dešimties iki reikiamos galios. Šviesos greitis rašomas taip: [blackquote shade=no]2,997925 x 108 m/s
Yra 7 reikšmingi skaičiai ir tai yra daug geriau nei parašyti 299 792 500 m/s.
Pastaba
Šviesos greitis dažnai rašomas kaip 3,00 x 108 m/s, tokiu atveju yra tik trys reikšmingi skaičiai. Vėlgi, tai yra būtino tikslumo lygio klausimas.
Šis žymėjimas labai patogus dauginant. Vadovaukitės anksčiau aprašytomis reikšminių skaičių dauginimo taisyklėmis, išsaugant mažiausią reikšminių skaičių skaičių, o tada padauginate dydžius, o tai vadovaujasi eksponentų sumavimo taisykle. Šis pavyzdys turėtų padėti jums tai įsivaizduoti:
2,3 x 103 x 3,19 x 104 = 7,3 x 107
Produkte yra tik du reikšmingi skaičiai, o jo dydis yra 107, nes 103 x 104 = 107
Priklausomai nuo situacijos, mokslinio žymėjimo pridėjimas gali būti labai paprastas arba labai sudėtingas. Jei terminai yra tos pačios eilės (t. y. 4,3 005 x 105 ir 13,5 x 105), vadovaukitės anksčiau aptartomis sudėjimo taisyklėmis, kaip apvalinimo vietą palikdami didžiausią vietos reikšmę ir palikdami tą patį dydį, kaip nurodyta toliau. pavyzdys:
4,3 005 x 105 + 13,5 x 105 = 17,8 x 105
Tačiau jei dydžių tvarka skiriasi, turite šiek tiek padirbėti, kad dydžiai būtų vienodi, kaip nurodyta kitame pavyzdyje, kur vienas terminas yra 105, o kitas 106:
4,8 x 105 + 9,2 x 106 = 4,8 x 105 + 92 x 105 = 97 x 105
arba
4,8 x 105 + 9,2 x 106 = 0,48 x 106 + 9,2 x 106 = 9,7 x 106
Abu šie sprendimai yra vienodi, todėl atsakymas yra 9 700 000.
Panašiai labai maži skaičiai taip pat dažnai rašomi moksliniu žymėjimu, nors vietoj teigiamo rodiklio yra neigiamas rodiklis. Elektrono masė yra:
9,10939 x 10-31 kg
Tai būtų nulis, po kablelio, 30 nulių, tada 6 reikšminių skaičių serija. Niekas nenori to rašyti, todėl moksliniai užrašai yra mūsų draugas. Visos aukščiau pateiktos taisyklės yra vienodos, neatsižvelgiant į tai, ar rodiklis yra teigiamas, ar neigiamas.
Reikšmingų figūrų ribos
Reikšmingi skaičiai yra pagrindinė priemonė, kurią mokslininkai naudoja norėdami pateikti naudojamų skaičių tikslumą. Tačiau apvalinimo procesas vis dar įveda skaičių paklaidą, o labai aukšto lygio skaičiavimuose naudojami kiti statistiniai metodai. Tačiau praktiškai visai fizikai, kuri bus atliekama vidurinės mokyklos ir koledžo klasėse, užteks teisingo reikšmingų skaičių naudojimo, kad būtų išlaikytas reikiamas tikslumo lygis.
Galutiniai komentarai
Reikšmingi skaičiai gali būti reikšminga kliūtis pirmą kartą supažindinant studentus, nes tai pakeičia kai kurias pagrindines matematines taisykles, kurių jie buvo mokomi daugelį metų. Pavyzdžiui, su reikšmingais skaičiais 4 x 12 = 50.
Panašiai problemų gali kilti ir mokslinio žymėjimo įvedimas studentams, kurie nėra visiškai patenkinti eksponentais ar eksponentinės taisyklėmis. Turėkite omenyje, kad tai yra įrankiai, kuriuos visi, studijuojantys mokslą, tam tikru momentu turėjo išmokti, o taisyklės iš tikrųjų yra labai paprastos. Bėda beveik visiškai atsiminti, kuri taisyklė kuriuo metu taikoma. Kada turiu pridėti laipsnius ir kada juos atimti? Kada dešimtainį tašką perkelti į kairę, o kada į dešinę? Jei toliau praktikuosite šias užduotis, jas atliksite geriau, kol jos taps antra prigimtimi.
Galiausiai tinkamų vienetų priežiūra gali būti sudėtinga. Atminkite, kad negalite tiesiogiai pridėti centimetrų ir metrų , pavyzdžiui, bet pirmiausia turi juos konvertuoti į tą pačią skalę. Tai dažna pradedančiųjų klaida, tačiau, kaip ir visos kitos, ją labai lengva įveikti sulėtinus greitį, būti atsargiems ir apgalvojus, ką darai.