Dvimatė kinematika arba judėjimas plokštumoje

Danielis Grill / Getty Images
Šiame straipsnyje pateikiamos pagrindinės sąvokos, būtinos analizuojant objektų judėjimą dviem matmenimis, neatsižvelgiant į jėgas, sukeliančias įsibėgėjimą. Tokio tipo problemų pavyzdys būtų kamuolio mėtymas arba patrankos sviedinio šaudymas. Tai reiškia susipažinimą su vienmatė kinematika , nes išplečia tas pačias sąvokas į dvimatę vektorinę erdvę.
Koordinačių pasirinkimas
Kinematika apima poslinkį, greitį ir pagreitį – visa tai vektoriniai dydžiai kurioms reikalingas dydis ir kryptis. Todėl, norėdami pradėti dvimatės kinematikos problemą, pirmiausia turite apibrėžti koordinačių sistema jūs naudojate. Paprastai tai bus a x -ašį ir a Y -ašį, orientuotą taip, kad judėjimas būtų teigiama kryptimi, nors gali būti tam tikrų aplinkybių, kai tai nėra geriausias būdas.
Tais atvejais, kai svarstoma gravitacija, įprasta gravitacijos kryptį nustatyti neigiama. Y kryptis. Tai yra susitarimas, kuris paprastai supaprastina problemą, nors, jei tikrai norite, būtų galima atlikti skaičiavimus kitokia kryptimi.
Greičio vektorius
Padėties vektorius r yra vektorius, einantis iš koordinačių sistemos pradžios į tam tikrą sistemos tašką. Padėties pasikeitimas (Δ r , tariama „Delta r ') yra skirtumas tarp pradžios taško ( r 1) iki galutinio taško ( r du). Mes apibrėžiame vidutinis greitis ( in apie ) kaip:
in apie = ( r du- r 1) / ( t du- t 1) = D r /D t
Laikydami ribą kaip Δ t artėja prie 0, pasiekiame momentinis greitis in . Skaičiavimo terminais tai yra išvestinė iš r su pagarba t , arba d r / dt .
Laiko skirtumui mažėjant, pradžios ir pabaigos taškai artėja vienas prie kito. Nuo krypties r yra ta pati kryptis kaip in , tampa aišku, kad momentinio greičio vektorius kiekviename taško taške yra trajektorijos liestinė .
Greičio komponentai
Naudingas vektorių dydžių bruožas yra tas, kad juos galima suskaidyti į komponentų vektorius. Vektoriaus išvestinė yra jo komponentų išvestinių suma, todėl:
inx = dx / dt
inY = tu / dt
Greičio vektoriaus dydis Pitagoro teorema pateikiamas tokia forma:
| in | = in = sqrt ( inx du+ inY du)
Kryptis in yra orientuotas alfa laipsnių prieš laikrodžio rodyklę nuo x -komponentas ir gali būti apskaičiuojamas pagal šią lygtį:
taip alfa = inY / inx
Pagreičio vektorius
Pagreitis yra greičio pokytis per tam tikrą laikotarpį. Panašiai kaip ir anksčiau pateiktoje analizėje, mes nustatome, kad tai yra Δ in /D t . To riba kaip Δ t artėjant prie 0, gaunama išvestinė iš in su pagarba t .
Kalbant apie komponentus, pagreičio vektorius gali būti parašytas taip:
ax = dvx / dt
aY = dvY / dt
arba
ax = d du x / dt du
aY = d du Y / dt du
Didumas ir kampas (žymimas kaip beta versija atskirti nuo alfa ) grynojo pagreičio vektoriaus yra apskaičiuojami naudojant komponentus, panašius į greičio komponentus.
Darbas su komponentais
Dažnai dvimatė kinematika apima atitinkamų vektorių suskaidymą į juos x - ir Y -komponentai, tada analizuojamas kiekvienas komponentas taip, lyg jie būtų vienmačiai. Baigus šią analizę, greičio ir (arba) pagreičio komponentai vėl sujungiami, kad būtų gauti dvimačiai greičio ir (arba) pagreičio vektoriai.
Trimatė kinematika
Visas aukščiau pateiktas lygtis galima išplėsti, kad būtų galima judėti trimis matmenimis, pridedant a Su - analizės komponentas. Tai paprastai yra gana intuityvu, nors reikia pasirūpinti, kad tai būtų padaryta tinkamu formatu, ypač apskaičiuojant vektoriaus orientacijos kampą.
RedaguotaAnne Marie Helmenstine, mokslų daktarė.