Kas yra galios rinkinys?

Vienas klausimas aibių teorija yra tai, ar aibė yra kitos aibės poaibis. Poaibis A yra rinkinys, sudarytas naudojant kai kuriuos rinkinio elementus A . Tam kad B būti poaibis A , kiekvienas elementas B taip pat turi būti elementas A .

Kiekvienas rinkinys turi kelis poaibius. Kartais pageidautina žinoti visus galimus pogrupius. Šiam tikslui padeda konstrukcija, žinoma kaip galios rinkinys. Rinkinio galios rinkinys A yra rinkinys su elementais, kurie taip pat yra rinkiniai. Šis galių rinkinys, sudarytas įtraukiant visus tam tikros aibės poaibius A .

1 pavyzdys

Mes apsvarstysime du galių rinkinių pavyzdžius. Pirmiausia, jei pradėsime nuo rinkinio A = {1, 2, 3}, tada kokia yra galia? Toliau išvardijame visus pogrupius A .

• The tuščias rinkinys yra poaibis A . Iš tiesų, tuščias rinkinys yra kiekvieno rinkinio poaibis . Tai vienintelis poaibis, kuriame nėra elementų A .
• Aibės {1}, {2}, {3} yra vieninteliai poaibiai A su vienu elementu.
• Aibės {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} yra vieninteliai poaibiai A su dviem elementais.
• Kiekvienas rinkinys yra savo paties poaibis. Taigi A = {1, 2, 3} yra poaibis A . Tai vienintelis poaibis su trimis elementais.

A A A

2 pavyzdys

Antrajame pavyzdyje apsvarstysime galios rinkinį B ={1, 2, 3, 4}. Didžioji dalis to, ką sakėme aukščiau, yra panaši, jei ne identiška dabar:

• Tuščias rinkinys ir B abu yra poaibiai.
• Kadangi yra keturi elementai B , yra keturi poaibiai su vienu elementu: {1}, {2}, {3}, {4}.
• Kadangi kiekvienas trijų elementų poaibis gali būti suformuotas pašalinus vieną elementą iš B ir yra keturi elementai, yra keturi tokie poaibiai: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}.
• Belieka nustatyti poaibius su dviem elementais. Mes sudarome dviejų elementų poaibį, pasirinktą iš 4 rinkinio. Tai yra derinys ir yra C (4, 2 ) =6 šių derinių. Poaibiai yra: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}.

B B

Žymėjimas

Yra du būdai, kaip nustatyti rinkinio galią A yra žymimas. Vienas iš būdų tai pažymėti yra simbolio naudojimas P ( A ), kur kartais šis laiškas P parašytas stilizuotu scenarijumi. Kitas žymėjimas galios rinkiniui A yra 2 ^A . Šis žymėjimas naudojamas galios rinkiniui sujungti su galios rinkinio elementų skaičiumi.

Maitinimo rinkinio dydis

Mes toliau nagrinėsime šį užrašą. Jeigu A yra baigtinis rinkinys su n elementai, tada jo galios rinkinys P (A ) turės 2 ⁿ elementai. Jei dirbame su begaline aibe, tai nėra naudinga galvoti apie 2 ⁿ elementai. Tačiau Kantoro teorema mums sako, kad aibės kardinalumas ir jos galių aibės negali būti vienodi.

Matematikoje buvo atviras klausimas, ar skaičiuojamos begalinės aibės laipsnių aibės kardinalumas atitinka realų kardinalumą. Šio klausimo sprendimas yra gana techninis, bet sako, kad galime nuspręsti, ar nustatyti kardinalumus, ar ne. Abu lemia nuoseklią matematinę teoriją.

Galios rinkiniai tikimybe

Tikimybių dalykas yra pagrįstas aibių teorija. Užuot kalbėję apie universalius rinkinius ir poaibius, mes kalbame apie pavyzdines erdves ir įvykius . Kartais dirbdami su pavyzdine erdve norime nustatyti tos pavyzdinės erdvės įvykius. Pavyzdinės erdvės galių rinkinys, kurį turime, suteiks mums visus galimus įvykius.