Aibių teorija

Įvykiai A ir B yra vienas kitą paneigiantys. C.K.Taylor

Aibių teorija yra pagrindinė visos matematikos sąvoka. Ši matematikos šaka sudaro pagrindą kitoms temoms.

Intuityviai aibė yra objektų, vadinamų elementais, rinkinys. Nors tai atrodo paprasta idėja, ji turi tam tikrų toli siekiančių pasekmių.

Elementai

Rinkinio elementai gali būti bet kokie – skaičiai, būsenos, automobiliai, žmonės ar net kiti rinkiniai yra visos elementų galimybės. Beveik viskas, ką galima surinkti kartu, gali būti panaudota kuriant rinkinį, tačiau turime būti atsargūs dėl kai kurių dalykų.

Vienodi rinkiniai

Aibės elementai yra rinkinyje arba nėra rinkinyje. Aibę galime apibūdinti pagal apibrėžiančią ypatybę arba galime išvardyti rinkinio elementus. Jų sąrašo tvarka nėra svarbi. Taigi aibės {1, 2, 3} ir {1, 3, 2} yra lygios aibės, nes jose abiejuose yra tie patys elementai.

Du specialūs rinkiniai

Du rinkiniai nusipelno ypatingo dėmesio. Pirmasis yra universalus rinkinys, paprastai žymimas IN . Šiame rinkinyje yra visi elementai, kuriuos galime pasirinkti. Šis rinkinys gali skirtis nuo vieno nustatymo iki kito. Pavyzdžiui, vienas universalus rinkinys gali būti rinkinys realūs skaičiai tuo tarpu kitos problemos atveju universalioji aibė gali būti sveikieji skaičiai {0, 1, 2,...}.

Kitas rinkinys, kuriam reikia šiek tiek dėmesio, vadinamas tuščias rinkinys . Tuščias rinkinys yra unikalus rinkinys, kuriame nėra elementų. Tai galime parašyti kaip { } ir pažymėti šią aibę simboliu ∅.

Poaibiai ir galios rinkinys

Kai kurių rinkinio elementų rinkinys A vadinamas a poaibis apie A . Mes tai sakome A yra poaibis B jei ir tik tada, kai kiekvienas elementas A taip pat yra elementas B . Jei yra baigtinis skaičius n elementų rinkinyje, tada iš viso yra 2 ⁿ pogrupiai A . Šis visų poaibių rinkinys A yra rinkinys, vadinamas galios rinkinys apie A .

Nustatyti operacijas

Lygiai taip pat, kaip galime atlikti tokias operacijas kaip sudėjimas – dviem skaičiais, kad gautume naują skaičių, aibės teorijos operacijos naudojamos aibei sudaryti iš dviejų kitų aibių. Yra daug operacijų, tačiau beveik visos yra sudarytos iš šių trijų operacijų:

• sąjunga – Profesinė sąjunga reiškia suartėjimą. Aibių sąjunga A ir B susideda iš elementų, kurie yra bet kuriame iš jų A arba B .
• Sankryža – Sankryža yra ta vieta, kur susitinka du dalykai. Aibių sankirta A ir B susideda iš elementų, kurie abiejuose A ir B .
• Papildyti - Rinkinio papildymas A susideda iš visų universalaus rinkinio elementų, kurie nėra elementai A .

Venno diagramos

Viena priemonė, padedanti pavaizduoti ryšį tarp skirtingų rinkinių, vadinama Venno diagrama. Stačiakampis reiškia universalų mūsų problemos rinkinį. Kiekvienas rinkinys pavaizduotas apskritimu. Jei apskritimai persidengia vienas su kitu, tai iliustruoja mūsų dviejų aibių susikirtimą.

Aibių teorijos taikymai

Aibių teorija naudojama visoje matematikoje. Jis naudojamas kaip daugelio matematikos subkrypčių pagrindas. Srityse, susijusiose su statistika, ji ypač naudojama tikimybei. Daugelis tikimybės sąvokų yra išvestos iš aibių teorijos pasekmių. Iš tiesų, vienas iš būdų nurodyti tikimybės aksiomos apima aibių teoriją.