Sąjungos apibrėžimas ir vartojimas matematikoje

Viena operacija, kuri dažnai naudojama formuojant naujus rinkinius iš senų, vadinama sąjunga. Paprastai vartojamas žodis sąjunga reiškia susivienijimą, pvz., organizuoto darbo sąjungas arba sąjungas Sąjungos būklė kreipimasis į tai, kad JAV Prezidentas daro prieš jungtinę Kongreso sesiją. Matematine prasme dviejų aibių sąjunga išlaiko šią sujungimo idėją. Tiksliau, dviejų rinkinių sąjunga A ir B yra visų elementų rinkinys x toks kad x yra rinkinio elementas A arba x yra rinkinio elementas B . Žodis, reiškiantis, kad mes naudojame sąjungą, yra žodis „arba“.

Žodis 'arba'

Kai vartojame žodį „arba“ kasdieniuose pokalbiuose, galime nesuvokti, kad šis žodis vartojamas dviem skirtingais būdais. Būdas dažniausiai numanomas iš pokalbio konteksto. Jei jūsų paklaustų, ar norėtumėte vištienos ar kepsnio? Įprasta potekstė yra ta, kad jūs galite turėti vieną ar kitą, bet ne abu. Palyginkite tai su klausimu, ar ant keptos bulvės norėtumėte sviesto ar grietinės? Čia „arba“ vartojamas imtinai, nes galima rinktis tik sviestą, tik grietinę arba ir sviestą, ir grietinę.

Matematikoje žodis „arba“ vartojamas įtraukia reikšme. Taigi teiginys „ x yra elementas A arba elementas B “ reiškia, kad galimas vienas iš trijų:

• x yra teisingumo elementas A o ne elementas B
• x yra teisingumo elementas B o ne elementas A .
• x yra abiejų elementas A ir B . (Taip pat galime pasakyti x yra sankirtos elementas A ir B

Pavyzdys

Norėdami gauti pavyzdį, kaip dviejų aibių sąjunga sudaro naują aibę, panagrinėkime aibes A = {1, 2, 3, 4, 5} ir B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Norėdami rasti šių dviejų rinkinių sąjungą, tiesiog išvardijame kiekvieną matomą elementą, stengdamiesi nedubliuoti jokių elementų. Skaičiai 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 yra arba vienoje, arba kitoje aibėje, todėl A ir B yra {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Sąjungos žymėjimas

Be aibių teorijos operacijų sąvokų supratimo, svarbu mokėti skaityti simbolius, naudojamus šioms operacijoms žymėti. Simbolis, naudojamas dviejų rinkinių sujungimui A ir B yra suteikta A ∪ B . Vienas iš būdų prisiminti simbolį ∪ reiškia sąjungą – pastebėti jo panašumą į didžiąją U raidę, kuri yra žodžio sąjunga trumpinys. Būkite atsargūs, nes sąjungos simbolis yra labai panašus į simbolį sankryža . Vienas iš kito gaunamas vertikaliai apverčiant.

Norėdami pamatyti, kaip šis žymėjimas veikia, žr. aukščiau pateiktą pavyzdį. Čia mes turėjome rinkinius A = {1, 2, 3, 4, 5} ir B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Taigi parašytume aibės lygtį A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Sujungimas su tuščiu rinkiniu

Viena iš pagrindinių tapatybių, apimančių sąjungą, parodo mums, kas nutinka, kai sujungiame bet kurį rinkinį su tuščiu rinkiniu, pažymėtu #8709. Tuščias rinkinys yra rinkinys be elementų. Taigi prisijungimas prie bet kurio kito rinkinio neturės jokios įtakos. Kitaip tariant, bet kurio rinkinio sujungimas su tuščiu rinkiniu grąžins mums pradinį rinkinį

Ši tapatybė tampa dar kompaktiškesnė naudojant mūsų žymėjimą. Turime tapatybę: A ∪ ∅ = A .

Jungtis su universaliu rinkiniu

Kitas kraštutinumas – kas nutinka, kai išnagrinėjame rinkinio sąjunga su universaliu komplektu? Kadangi universaliame rinkinyje yra kiekvienas elementas, nieko daugiau prie to pridėti negalime. Taigi sąjunga arba bet koks rinkinys su universaliu rinkiniu yra universalus rinkinys.

Vėlgi, mūsų žymėjimas padeda mums išreikšti šią tapatybę kompaktiškesniu formatu. Bet kokiam rinkiniui A ir universalus rinkinys IN , A ∪ IN = IN .

Kitos tapatybės, susijusios su Sąjunga

Yra daug daugiau nustatytų tapatybių, kurios apima sąjungos operacijos naudojimą. Žinoma, visada gerai praktika naudojant aibių teorijos kalbą. Keletas svarbesnių yra išvardyti toliau. Visiems rinkiniams A , ir B ir D mes turime:

• Refleksinė savybė: A ∪ A = A
• Komutacinė nuosavybė: A ∪ B = B ∪ A
• Asociacinė nuosavybė: ( A ∪ B ) ∪ D = A ∪ ( B ∪ D )
• DeMorgano dėsnis I: ( A ∩ B )^C= A ^C∪ B ^C
• DeMorgano dėsnis II: ( A ∪ B )^C= A ^C∩ B ^C