3 ar daugiau rinkinių susijungimo tikimybė

Sylvia Schug/E+/Getty Images

Kai du įvykiai yra vienas kitą paneigiantys , jų tikimybė sąjunga galima apskaičiuoti naudojant papildymo taisyklė . Žinome, kad metant kauliuką didesnio nei keturi arba mažesnio už tris metimas yra vienas kitą paneigiantys įvykiai, neturintys nieko bendro. Taigi, norėdami rasti šio įvykio tikimybę, tiesiog pridėkite tikimybę, kad išmesime skaičių didesnį nei keturi, prie tikimybės, kad mes išmesime skaičių mažesnį nei trys. Simboliuose mes turime šiuos, kur sostinė P reiškia tikimybę:

P (daugiau nei keturi arba mažiau nei trys) = P (daugiau nei keturi) + P (mažiau nei trys) = 2/6 + 2/6 = 4/6.

Jei įvykiai yra ne vienas kitą neįtraukiantys, tada mes ne tiesiog sudedame įvykių tikimybes, bet turime atimti tikimybę, kad sankryža įvykių. Atsižvelgiant į įvykius A ir B :

P ( A IN B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A ∩ B ).

Čia atsižvelgiama į galimybę du kartus suskaičiuoti tuos elementus, kurie yra abiejuose A ir B , todėl atimame sankryžos tikimybę.

Iš to kyla klausimas: kam sustoti su dviem rinkiniais? Kokia yra daugiau nei dviejų aibių susijungimo tikimybė?

3 rinkinių sąjungos formulė

Aukščiau pateiktas idėjas išplėsime į situaciją, kai turime tris rinkinius, kuriuos pažymėsime A , B , ir C . Nepriimsime nieko daugiau nei tai, todėl yra galimybė, kad aibėse yra netuščia sankryža. Tikslas bus apskaičiuoti tikimybė šių trijų rinkinių sąjungos, arba P ( A IN B IN C ).

Pirmiau minėta dviejų rinkinių diskusija vis dar galioja. Galime sudėti atskirų aibių tikimybes A , B , ir C , tačiau tai darydami du kartus suskaičiavome kai kuriuos elementus.

Elementai sankirtoje A ir B buvo skaičiuojami du kartus, kaip ir anksčiau, tačiau dabar yra kitų elementų, kurie galbūt buvo skaičiuojami du kartus. Elementai sankirtoje A ir C ir sankirtoje B ir C dabar taip pat buvo skaičiuojami du kartus. Taigi tikimybės iš šių sankryžų taip pat reikia atimti.

Bet ar mes per daug atėmėme? Yra kažkas naujo, dėl kurio nereikėjo jaudintis, kai buvo tik du rinkiniai. Kaip bet kurios dvi aibės gali turėti sankirtą, visos trys aibės taip pat gali turėti sankirtą. Bandydami įsitikinti, kad nieko neskaičiavome dvigubai, neskaičiavome visų tų elementų, kurie rodomi visuose trijuose rinkiniuose. Taigi visų trijų aibių susikirtimo tikimybę reikia pridėti atgal.

Štai formulė, gauta iš aukščiau pateiktos diskusijos:

P ( A IN B IN C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) - P ( A ∩ B ) - P ( A ∩ C ) - P ( B ∩ C ) + P ( A ∩ B ∩ C )

Pavyzdys, kuriame yra 2 kauliukai

Norėdami pamatyti trijų rinkinių susijungimo tikimybės formulę, tarkime, kad žaidžiame stalo žaidimą, kuriame metant du kauliukus . Dėl žaidimo taisyklių turime gauti bent vieną iš kauliukų, kad būtų du, trys ar keturi, kad laimėtume. Kokia to tikimybė? Atkreipiame dėmesį, kad bandome apskaičiuoti trijų įvykių sąjungos tikimybę: metant bent vieną du, ridenant bent vieną trejetą, metant bent vieną ketvertą. Taigi galime naudoti aukščiau pateiktą formulę su tokiomis tikimybėmis:

• Tikimybė išmesti dvi yra 11/36. Skaitiklis čia atsiranda dėl to, kad yra šeši rezultatai, kai pirmasis kauliukas yra du, šeši, kai antrasis kauliukas yra du, ir vienas rezultatas, kai abu kauliukai yra du. Taip gauname 6 + 6 - 1 = 11.
• Tikimybė išmesti trejetą yra 11/36 dėl tos pačios priežasties, kaip nurodyta aukščiau.
• Tikimybė išmesti ketvertą yra 11/36 dėl tos pačios priežasties, kaip nurodyta aukščiau.
• Tikimybė išmesti du ir trejetą yra 2/36. Čia galime tiesiog išvardinti galimybes, dvi gali būti pirmesnės arba antra.
• Tikimybė išmesti du ir keturis yra 2/36, dėl tos pačios priežasties, kad dviejų ir trijų tikimybė yra 2/36.
• Tikimybė išmesti du, tris ir keturis yra 0, nes mes metame tik du kauliukus ir nėra galimybės gauti trijų skaičių su dviem kauliukais.

Dabar naudojame formulę ir matome, kad tikimybė gauti bent du, tris arba keturis yra

11/36 + 11/36 + 11/36 – 2/36 – 2/36 – 2/36 + 0 = 27/36.

4 rinkinių susijungimo tikimybės formulė

Priežastis, kodėl keturių aibių sąjungos tikimybės formulė turi savo formą, yra panaši į trijų aibių formulės samprotavimus. Didėjant rinkinių skaičiui, didėja ir porų, trigubų ir pan. Su keturiais rinkiniais yra šešios poros sankryžos, kurias reikia atimti, keturios trigubos sankryžos, kurias reikia pridėti, ir dabar keturios sankryžos, kurias reikia atimti. Duoti keturi komplektai A , B , C ir D , šių aibių sujungimo formulė yra tokia:

P ( A IN B IN C IN D ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) + P ( D ) - P ( A ∩ B ) - P ( A ∩ C ) - P ( A ∩ D )- P ( B ∩ C ) - P ( B ∩ D ) - P ( C ∩ D ) + P ( A ∩ B ∩ C ) + P ( A ∩ B ∩ D ) + P ( A ∩ C ∩ D ) + P ( B ∩ C ∩ D ) - P ( A ∩ B ∩ C ∩ D ).

Bendras modelis

Galėtume parašyti formules (kurios atrodytų dar baisiau nei aukščiau pateikta) daugiau nei keturių aibių sąjungos tikimybei, tačiau išstudijavę aukščiau pateiktas formules turėtume pastebėti kai kuriuos modelius. Šie modeliai tinka skaičiuojant daugiau nei keturių rinkinių sąjungas. Bet kokio aibių skaičiaus susijungimo tikimybę galima rasti taip:

1. Pridėkite atskirų įvykių tikimybes.
2. Atimkite sankryžų tikimybės kiekvienos poros įvykių.
3. Pridėkite kiekvieno trijų įvykių rinkinio sankirtos tikimybę.
4. Atimkite kiekvienos keturių įvykių rinkinio sankirtos tikimybę.
5. Tęskite šį procesą, kol paskutinė tikimybė yra visų rinkinių, nuo kurių pradėjome, susikirtimo tikimybė.