Kas yra dviejų rinkinių sankirta?

Aibių teorija

Tamsinta sritis reiškia dviejų rinkinių A ir B sankirtą. C.K.Taylor

Kai susiduriama su aibių teorija , yra keletas operacijų, kad iš senų būtų sukurti nauji rinkiniai. Viena iš labiausiai paplitusių rinkinio operacijų vadinama sankryža. Paprasčiau tariant, dviejų rinkinių sankirta A ir B yra visų elementų, kurie abu A ir B turi bendro.

Aibių teorijoje panagrinėsime detales, susijusias su sankirta. Kaip matysime, pagrindinis žodis čia yra žodis „ir“.

Pavyzdys

Pavyzdžiui, kaip dviejų aibių sankirta sudaro a naujas komplektas , apsvarstykime rinkinius A = {1, 2, 3, 4, 5} ir B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Norėdami rasti šių dviejų aibių sankirtą, turime išsiaiškinti, kokie elementai yra bendri. Skaičiai 3, 4, 5 yra abiejų aibių elementai, todėl sankirtos A ir B yra {3. 4. 5].

Sankryžos žymėjimas

Be aibių teorijos operacijų sąvokų supratimo, svarbu mokėti skaityti simbolius, naudojamus šioms operacijoms žymėti. Sankryžos simbolis kartais pakeičiamas žodžiu ir tarp dviejų rinkinių. Šis žodis rodo kompaktiškesnį sankryžos žymėjimą, kuris paprastai naudojamas.

Simbolis, naudojamas dviejų rinkinių sankirtai A ir B yra suteikta A ∩ B . Vienas iš būdų prisiminti, kad šis simbolis ∩ nurodo sankryžą, yra pastebėti jo panašumą į didžiąją A raidę, kuri yra žodžio „ir“ trumpinys.

Norėdami pamatyti, kaip šis žymėjimas veikia, žr. aukščiau pateiktą pavyzdį. Čia mes turėjome rinkinius A = {1, 2, 3, 4, 5} ir B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Taigi parašytume aibės lygtį A ∩ B = {3, 4, 5}.

Sankryža su tuščiu rinkiniu

Viena pagrindinė tapatybė, apimanti sankryžą, parodo, kas nutinka, kai bet kurios aibės sankirtą paimame su tuščia aibe, pažymėta #8709. Tuščias rinkinys yra rinkinys be elementų. Jei bent vienoje iš aibių, kurių sankirtą bandome rasti, nėra elementų, tada šios dvi aibės neturi bendrų elementų. Kitaip tariant, bet kurios aibės sankirta su tuščias rinkinys duos mums tuščią rinkinį.

Ši tapatybė tampa dar kompaktiškesnė naudojant mūsų žymėjimą. Turime tapatybę: A ∩ ∅ = ∅.

Sankirta su universaliu rinkiniu

Kalbant apie kitą kraštutinumą, kas atsitinka, kai tiriame aibės ir universaliosios aibės sankirtą? Panašiai kaip žodis visata astronomijoje vartojamas reiškia viską, universaliame rinkinyje yra kiekvienas elementas. Iš to išplaukia, kad kiekvienas mūsų rinkinio elementas taip pat yra universalaus rinkinio elementas. Taigi bet kurios aibės ir universaliosios aibės sankirta yra ta aibė, nuo kurios pradėjome.

Vėlgi mūsų užrašas padeda glaustai išreikšti šią tapatybę. Bet kokiam rinkiniui A ir universalus rinkinys IN , A ∩ IN = A .

Kitos tapatybės, susijusios su sankryža

Yra daug daugiau nustatytų lygčių, kuriose naudojama sankirtos operacija. Žinoma, visada gerai praktika naudojant aibių teorijos kalbą. Visiems rinkiniams A , ir B ir D mes turime:

• Refleksinė savybė: A ∩ A = A
• Komutacinė nuosavybė: A ∩ B = B ∩ A
• Asociacinė nuosavybė :( A ∩ B ) ∩ D = A ∩ ( B ∩ D )
• Paskirstymo nuosavybė: ( A ∪ B ) ∩ D = ( A ∩ D )∪ ( B ∩ D )
• DeMorgano dėsnis I: ( A ∩ B )^C= A ^C∪ B ^C
• DeMorgano dėsnis II: ( A ∪ B )^C= A ^C∩ B ^C