Kuo skiriasi dvi aibės aibių teorijoje?

Raudona Venno diagramos sritis žymi aibę A – B. C.K.Taylor

Dviejų aibių skirtumas, parašytas A - B yra visų elementų rinkinys A kurie nėra elementai B . Skirtumo operacija, kartu su sąjunga ir susikirtimu, yra svarbi ir fundamentaliųjų aibių teorijos operacija .

Skirtumo aprašymas

Vieno skaičiaus atėmimą iš kito galima įsivaizduoti įvairiais būdais. Vienas modelis, padedantis suprasti šią sąvoką, vadinamas išsinešimo modeliu atimti . Šiuo atveju problema 5 - 2 = 3 būtų parodyta pradedant nuo penkių objektų, pašalinant du iš jų ir suskaičiuojant, kad liko trys. Panašiai, kaip randame skirtumą tarp dviejų skaičių, galime rasti dviejų aibių skirtumą.

Pavyzdys

Pažiūrėsime į nustatyto skirtumo pavyzdį. Norėdami pamatyti, kaip skiriasi du rinkiniai sudaro naują aibę, apsvarstykime aibes A = {1, 2, 3, 4, 5} ir B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Norėdami rasti skirtumą A - B iš šių dviejų rinkinių pradedame užrašydami visus elementus A , tada pašalinkite kiekvieną elementą A tai taip pat yra elementas B . Nuo A dalijasi elementais 3, 4 ir 5 su B , tai suteikia mums nustatytą skirtumą A - B = {1, 2}.

Užsakymas yra svarbus

Lygiai taip pat, kaip skirtumai 4–7 ir 7–4 suteikia mums skirtingus atsakymus, turime būti atsargūs dėl eilės, kuria apskaičiuojame nustatytą skirtumą. Vartodami techninį terminą iš matematikos, sakytume, kad skirtumo aibė nėra komutacinė. Tai reiškia, kad apskritai negalime pakeisti dviejų rinkinių skirtumo tvarkos ir tikėtis to paties rezultato. Tiksliau galime pasakyti, kad visiems rinkiniams A ir B , A - B nėra lygus B - A .

Norėdami tai pamatyti, grįžkite į anksčiau pateiktą pavyzdį. Mes tai paskaičiavome rinkiniams A = {1, 2, 3, 4, 5} ir B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, skirtumas A - B = {1, 2}. Norėdami tai palyginti su B - A, pradedame nuo elementų B , kurie yra 3, 4, 5, 6, 7, 8, tada pašalinkite 3, 4 ir 5, nes jie yra bendri A . Rezultatas yra B - A = {6, 7, 8}. Šis pavyzdys mums tai aiškiai parodo A-B nėra lygus B-A .

Papildymas

Vieno tipo skirtumas yra pakankamai svarbus, kad būtų užtikrintas specialus pavadinimas ir simbolis. Tai vadinama papildymu ir naudojama nustatytam skirtumui, kai pirmasis rinkinys yra universalus rinkinys. Papildymas A pateikiama išraiška IN - A . Tai reiškia visų universaliojo rinkinio elementų, kurie nėra elementai, rinkinį A . Kadangi suprantama, kad elementų rinkinys kuriuos galime pasirinkti, yra paimti iš universalaus rinkinio, galime tiesiog pasakyti, kad papildymas A yra rinkinys, sudarytas iš elementų, kurie nėra elementai A .

Rinkinio papildymas yra susijęs su universaliu rinkiniu, su kuriuo dirbame. Su A = {1, 2, 3} ir IN = {1, 2 ,3, 4, 5}, papildinys A yra {4, 5}. Jei mūsų universalus rinkinys skiriasi, tarkime IN = {-3, -2, 0, 1, 2, 3 }, tada komplementas A {-3, -2, -1, 0}. Visada atkreipkite dėmesį į tai, koks universalus rinkinys yra naudojamas.

Papildymo žymėjimas

Žodis „papildyti“ prasideda raide C, todėl ji naudojama žymėjime. Rinkinio papildymas A parašyta kaip A ^C. Taigi papildinio apibrėžimą galime išreikšti simboliais taip: A ^C= IN - A .

Kitas būdas, kuris dažniausiai naudojamas aibės papildiniui žymėti, apima apostrofą ir rašomas kaip A “.

Kitos tapatybės, susijusios su skirtumu ir papildymais

Yra daug nustatytų tapatybių, kurios apima skirtumo ir papildymo operacijų naudojimą. Kai kurios tapatybės derina kitas rinkinio operacijas, pvz., sankryža ir sąjunga . Keletas svarbesnių yra išvardyti toliau. Visiems rinkiniams A , ir B ir D mes turime:

• A - A =∅
• A - ∅ = A
• ∅ - A = ∅
• A - IN = ∅
• ( A ^C)^C= A
• DeMorgano dėsnis I: ( A ∩ B )^C= A ^C∪ B ^C
• DeMorgano dėsnis II: ( A ∪ B )^C= A ^C∩ B ^C