Kas yra tikimybių aksiomos?

Trys tikimybių aksiomos. C.K.Taylor

Viena iš matematikos strategijų yra pradėti nuo kelių teiginių, tada iš šių teiginių sukurti daugiau matematikos. Pradžios teiginiai yra žinomi kaip aksiomos. Aksioma paprastai yra kažkas, kas matematiškai yra savaime suprantama. Iš gana trumpo aksiomų sąrašo dedukcinė logika naudojama kitiems teiginiams, vadinamiems teoremomis arba teiginiais, įrodyti.

Matematikos sritis, žinoma kaip tikimybė, nesiskiria. Tikimybę galima sumažinti iki trijų aksiomų. Pirmiausia tai padarė matematikas Andrejus Kolmogorovas. Saujelė aksiomų, kurios yra pagrindinė tikimybė, gali būti panaudotos visoms išvadoms rūšių rezultatų. Bet kas yra šios tikimybių aksiomos?

Apibrėžimai ir preliminarūs

Norėdami suprasti tikimybės aksiomas, pirmiausia turime aptarti kai kuriuos pagrindinius apibrėžimus. Manome, kad turime rezultatų rinkinį, vadinamą pavyzdžio erdve S. Šią pavyzdinę erdvę galima laikyti universalia situacija, kurią tiriame. Mėginio erdvę sudaro poaibiai, vadinami įvykiais IR ₁, IR _du, . . ., IR_n .

Taip pat darome prielaidą, kad yra būdas bet kuriam įvykiui priskirti tikimybę IR . Tai gali būti laikoma funkcija, kuri turi įvesties rinkinį ir a tikras numeris kaip išvestis. Tikimybė, kad įvykis IR žymimas P ( IR ).

Aksioma viena

Pirmoji tikimybės aksioma yra ta, kad bet kurio įvykio tikimybė yra neneigiamas realusis skaičius. Tai reiškia, kad mažiausia tikimybė, kokia gali būti, yra lygi nuliui ir ji negali būti begalinė. Skaičių rinkinys, kurį galime naudoti, yra tikrieji skaičiai. Tai reiškia ir racionalius skaičius, dar vadinamus trupmenomis, ir neracionalius skaičius, kurių negalima užrašyti kaip trupmenas.

Reikia pažymėti, kad ši aksioma nieko nesako apie tai, kokia didelė gali būti įvykio tikimybė. Aksioma pašalina neigiamų tikimybių galimybę. Tai atspindi mintį, kad mažiausia tikimybė, skirta neįmanomiems įvykiams, yra lygi nuliui.

Antroji aksioma

Antroji tikimybės aksioma yra ta, kad visos imties erdvės tikimybė yra viena. Simboliškai rašome P ( S ) = 1. Šioje aksiomoje numanoma, kad imties erdvė yra viskas, kas įmanoma mūsų tikimybių eksperimentui ir kad už imties erdvės ribų nėra įvykių.

Pati ši aksioma nenustato viršutinės įvykių, kurie nėra visa imties erdvė, tikimybių ribos. Tai rodo, kad kažkas su absoliučiu tikrumu turi 100% tikimybę.

Trečia aksioma

Trečioji tikimybės aksioma susijusi su vienas kitą paneigiančiais įvykiais. Jeigu IR ₁ir IR _duyra vienas kitą paneigiantys , reiškia, kad jie turi tuščią sankryžą ir mes naudojame U žymėti sąjungą, tada P ( IR ₁IN IR _du) = P ( IR ₁) + P ( IR _du).

Aksioma iš tikrųjų apima situaciją keliais (net begaliniais) įvykiais, kurių kiekviena pora yra vienas kitą paneigianti. Kol tai vyksta, sąjungos tikimybė įvykių yra tokia pati kaip tikimybių suma:

P ( IR ₁IN IR _duĮ . . . IN IR_n ) = P ( IR ₁) + P ( IR _du) +. . . + IR_n

Nors ši trečioji aksioma gali pasirodyti ne tokia naudinga, pamatysime, kad kartu su kitomis dviem aksiomomis ji iš tiesų yra gana galinga.

Aksiomų programos

Trys aksiomos nustato viršutinę bet kokio įvykio tikimybės ribą. Mes žymime įvykio papildymą IR pateikė IR ^C. Iš aibės teorijos, IR ir IR ^Cturi tuščią sankryžą ir yra vienas kitą paneigiantys. Be to IR IN IR ^C= S , visa mėginio vieta.

Šie faktai kartu su aksiomomis suteikia mums:

1 = P ( S ) = P ( IR IN IR ^C) = P ( IR ) + P ( IR ^C).

Pertvarkome aukščiau pateiktą lygtį ir tai matome P ( IR ) = 1 - P ( IR ^C). Kadangi žinome, kad tikimybės turi būti neneigiamos, dabar turime, kad viršutinė bet kurio įvykio tikimybės riba yra 1.

Dar kartą pertvarkę formulę turime P ( IR^C ) = 1 - P ( IR ). Taip pat iš šios formulės galime daryti išvadą, kad tikimybė, kad įvykis neįvyks, yra vienas atėmus tikimybę, kad jis įvyks.

Aukščiau pateikta lygtis taip pat suteikia mums būdą, kaip apskaičiuoti neįmanomo įvykio, pažymėto tuščia aibe, tikimybę. Norėdami tai pamatyti, prisiminkite, kad tuščias rinkinys šiuo atveju yra universalaus rinkinio papildymas S ^C. Kadangi 1 = P ( S ) + P ( S ^C) = 1 + P ( S ^C), pagal algebrą turime P ( S ^C) = 0.

Tolesnės paraiškos

Aukščiau yra tik keletas savybių, kurias galima įrodyti tiesiogiai iš aksiomų, pavyzdžių. Yra daug daugiau rezultatų tikimybei. Tačiau visos šios teoremos yra loginiai trijų tikimybės aksiomų išplėtimai.