Kaip naudoti „Jei ir tik jei“ matematikoje

Courtney Taylor

Skaitant apie statistiką ir matematiką, viena frazė, kuri reguliariai pasirodo, yra tada ir tik tada. Ši frazė ypač atsiranda matematinių teoremų ar įrodymų teiginiuose. Bet ką tiksliai reiškia šis teiginys?

Ką matematikoje reiškia jei ir tik jei?

Norėdami suprasti, ar ir tik tada, pirmiausia turime žinoti, ką reiškia sąlyginis teiginys. Sąlyginis teiginys yra toks, kuris sudaromas iš dviejų kitų teiginių, kuriuos žymėsime P ir Q. Norėdami sudaryti sąlyginį teiginį, galėtume pasakyti, jei P tada Q.

Toliau pateikiami tokio tipo pareiškimo pavyzdžiai:

• Jei lauke lyja, skėtį pasiimu pasivaikščioti.
• Jei sunkiai mokysitės, gausite A.
• Jeigu n tada dalijasi iš 4 n dalijasi iš 2.

Pokalbiai ir sąlygos

Trys kiti teiginiai yra susiję su bet kuriuo sąlyginiu teiginiu. Tai vadinami atvirkštinis, atvirkštinis ir prieštaringas . Šiuos teiginius sudarome pakeisdami P ir Q tvarką iš pradinio sąlyginio ir įterpdami žodį ne atvirkštiniam ir priešingam.

Čia reikia atsižvelgti tik į atvirkščiai. Šis teiginys gaunamas iš originalo, sakydamas, jei Q, tada P. Tarkime, pradėsime nuo sąlyginio, jei lauke lyja, tada aš pasiimu skėtį su savimi į pasivaikščiojimą. Šis teiginys yra priešingas, jei eidamas pasiimu skėtį, lauke lyja.

Mums tereikia atsižvelgti į šį pavyzdį, kad suprastume, jog pradinis sąlyginis logiškai nėra tas pats, kas jo priešinga. Šių dviejų teiginių formų painiava žinoma kaip a atvirkštinė klaida . Galima pasivaikščioti su skėčiu, nors lauke nelyja.

Kitame pavyzdyje svarstome sąlyginį Jei skaičius dalijasi iš 4, tada jis dalijasi iš 2. Šis teiginys aiškiai teisingas. Tačiau šis teiginys yra priešingas Jei skaičius dalijasi iš 2, tada jis dalijasi iš 4, yra klaidingas. Mums tereikia pažvelgti į skaičių, pavyzdžiui, 6. Nors 2 padalija šį skaičių, 4 – ne. Nors pradinis teiginys yra teisingas, jo atvirkštinis nėra.

Dvi sąlyginis

Tai priveda prie dvisąlyginio teiginio, kuris taip pat žinomas kaip „jei ir tik jei“ teiginys. Tam tikri sąlyginiai teiginiai taip pat turi priešingų, kurie yra teisingi. Tokiu atveju galime sudaryti vadinamąjį dvisąlyginį teiginį. Dvi sąlyginis teiginys turi tokią formą:

Jei P, tada Q, o jei Q, tada P.

Nuo šio statyba yra šiek tiek nepatogus, ypač kai P ir Q yra jų pačių loginiai teiginiai, dvisąlygos teiginį supaprastiname naudodami frazę „jei ir tik jei“. Užuot sakę „jei P, tada Q, o jei Q, tada P“, sakome „P tada ir tik tada, jei Q“. Ši konstrukcija pašalina tam tikrą perteklių.

Statistikos pavyzdys

Frazės pavyzdyje tada ir tik tada, kai tai susiję su statistika, ieškokite tik fakto apie imties standartinį nuokrypį. Duomenų rinkinio imties standartinis nuokrypis yra lygus nulis tada ir tik tada, kai visos duomenų reikšmės yra identiškos.

Šį dvisąlyginį teiginį suskaidome į sąlyginį ir jo atvirkščiai. Tada matome, kad šis teiginys reiškia abu šiuos dalykus:

• Jei standartinis nuokrypis lygus nuliui, tada visos duomenų reikšmės yra identiškos.
• Jei visos duomenų reikšmės yra vienodos, standartinis nuokrypis yra lygus nuliui.

Biconditional įrodymas

Jei bandome įrodyti dvisąlygą, dažniausiai ją padalijame. Dėl to mūsų įrodymas susideda iš dviejų dalių. Viena dalis, kurią įrodome, yra jei P tada Q. Kita mums reikalingo įrodymo dalis yra jei Q tada P.

Būtinos ir pakankamos sąlygos

Dviejų sąlygų teiginiai yra susiję su sąlygomis, kurios yra būtinos ir pakankamos. Apsvarstykite teiginį, jei yra šiandien Velykos , tada rytoj pirmadienis. Šiandien Velykos pakanka, kad rytoj būtų pirmadienis, tačiau tai nėra būtina. Šiandien gali būti bet kuris sekmadienis, išskyrus Velykas, o rytoj vis tiek būtų pirmadienis.

Santrumpa

Frazė jei ir tik tada naudojama pakankamai dažnai matematiniame rašte, kad ji turėtų savo santrumpą. Kartais dvisąlyginis posakis frazės jei ir tik jei sutrumpinamas iki tiesiog iff. Taigi teiginys P tada ir tik tada, kai Q tampa P, jei Q.