Kas yra statistikos akimirkos?

Compassionate Eye/Foundation/Robert Daly/OJO Images/Getty Images

Matematinės statistikos momentai apima pagrindinį skaičiavimą. Šie skaičiavimai gali būti naudojami norint rasti tikimybių skirstinio vidurkį, dispersiją ir iškrypimą.

Tarkime, kad turime duomenų rinkinį, kurio bendra suma yra n diskretus taškų. Vienas svarbus skaičiavimas, kurį iš tikrųjų sudaro keli skaičiai, vadinamas s akimirka. The s duomenų rinkinio su reikšmėmis momentas x ₁, x _du, x ₃,... , x_n pateikiama pagal formulę:

( x ₁ ^s + x _du ^s + x ₃ ^s + ... + x_n^s )/ n

Naudodami šią formulę turime būti atsargūs su savo operacijų tvarka. Pirmiausia turime atlikti eksponentus, pridėti, tada padalyti šią sumą iš n bendras duomenų reikšmių skaičius.

Pastaba dėl termino „akimirka“

Terminas momentas buvo paimtas iš fizikos. Fizikoje taškinių masių sistemos momentas apskaičiuojamas pagal formulę, identišką aukščiau pateiktai, ir ši formulė naudojama ieškant taškų masės centro. Statistikoje reikšmės nebėra masės, bet, kaip matysime, statistikos momentai vis tiek matuoja kažką santykinai su reikšmių centru.

Pirma akimirka

Pirmą akimirką mes nustatome s = 1. Pirmojo momento formulė yra tokia:

( x ₁x_du+ x ₃+ ... + x_n )/ n

Tai identiška pavyzdžio formulei reiškia .

Pirmasis reikšmių 1, 3, 6, 10 momentas yra (1 + 3 + 6 + 10) / 4 = 20/4 = 5.

Antra akimirka

Antrą akimirką mes nustatome s = 2. Antrojo momento formulė yra tokia:

( x ₁^du+ x _du^du+ x ₃^du+ ... + x_n ^du)/ n

Antrasis reikšmių 1, 3, 6, 10 momentas yra (1^du+ 3^du+ 6^du+ 10^du) / 4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 146/4 = 36,5.

Trečias momentas

Trečią akimirką mes nustatome s = 3. Trečiojo momento formulė yra tokia:

( x ₁³+ x _du³+ x ₃³+ ... + x_n ³)/ n

Trečiasis reikšmių 1, 3, 6, 10 momentas yra (1³+ 3³+ 6³+ 10³) / 4 = (1 + 27 + 216 + 1000) / 4 = 1244/4 = 311.

Panašiai galima apskaičiuoti ir didesnius momentus. Tiesiog pakeiskite s aukščiau pateiktoje formulėje su skaičiumi, reiškiančiu norimą momentą.

Akimirkos apie vidurkį

Susijusi idėja yra s akimirka apie vidurkį. Šiame skaičiavime atliekame šiuos veiksmus:

1. Pirmiausia apskaičiuokite reikšmių vidurkį.
2. Tada atimkite šį vidurkį iš kiekvienos vertės.
3. Tada padidinkite kiekvieną iš šių skirtumų iki s galia.
4. Dabar pridėkite skaičius iš 3 žingsnio kartu.
5. Galiausiai padalykite šią sumą iš reikšmių, nuo kurių pradėjome, skaičiaus.

Formulė, skirta s akimirka apie vidurkį m iš vertybių verčių x ₁, x _du, x ₃,..., x_n suteikia:

m_s = (( x ₁- m ) ^s + ( x _du- m ) ^s + ( x ₃- m ) ^s + ... + ( x_n - m ) ^s )/ n

Pirma akimirka apie vidurkį

Pirmas momentas apie vidurkį visada lygus nuliui, nesvarbu, su kokiu duomenų rinkiniu dirbame. Tai galima pamatyti toliau pateiktose nuotraukose.

m ₁= (( x ₁- m ) + ( x _du- m ) + ( x ₃- m ) + ... + ( x_n - m ))/ n = (( x ₁+ x _du+ x ₃+ ... + x_n ) - nm )/ n = m - m = 0.

Antra akimirka apie vidurkį

Antrasis momentas apie vidurkį gaunamas iš aukščiau pateiktos formulės nustatant s = 2:

m _du= (( x ₁- m )^du+ ( x _du- m )^du+ ( x ₃- m )^du+ ... + ( x_n - m )^du)/ n

Ši formulė yra lygiavertė imties dispersijos formulei.

Pavyzdžiui, apsvarstykite aibę 1, 3, 6, 10. Šios aibės vidurkį jau apskaičiavome 5. Atimkite tai iš kiekvienos duomenų reikšmės, kad gautumėte skirtumus:

• 1 – 5 = -4
• 3 – 5 = -2
• 6–5 = 1
• 10–5 = 5

Kiekvieną iš šių reikšmių padalijame kvadratu ir sudedame: (-4)^du+ (-2)^du+1^du+ 5^du= 16 + 4 + 1 + 25 = 46. Galiausiai padalykite šį skaičių iš duomenų taškų skaičiaus: 46/4 = 11,5

Akimirkų taikymai

Kaip minėta pirmiau, pirmasis momentas yra vidurkis, o antrasis momentas apie vidurkį yra pavyzdysdispersija. Karlas Pearsonas pristatė trečiojo momento naudojimą apie vidurkį skaičiuojant pasvirumas ir ketvirtasis momentas apie vidurkį apskaičiuojant kurtosis .