Pasitikėjimo intervalas dviejų populiacijų proporcijų skirtumui

Dviejų proporcijų skirtumo pasikliautinojo intervalo formulė. C.K. Teiloras

Pasitikėjimo intervalai yra viena dalis išvadinė statistika . Pagrindinė šios temos idėja yra įvertinti nežinomos populiacijos vertę parametras naudojant statistinę imtį. Galime ne tik įvertinti parametro reikšmę, bet ir pritaikyti savo metodus skirtumui tarp dviejų susijusių parametrų įvertinti. Pavyzdžiui, galime sužinoti, kiek JAV balsuojančių vyrų, kurie palaiko tam tikrą teisės aktą, procentas skiriasi nuo balsuojančių moterų.

Pamatysime, kaip atlikti tokio tipo skaičiavimus, sudarydami dviejų populiacijos proporcijų skirtumo pasikliautinąjį intervalą. Proceso metu išnagrinėsime kai kurias šio skaičiavimo teorijas. Pamatysime kai kuriuos panašumus, kaip konstruojame a pasikliautinuoju intervalu vienai populiacijos daliai taip pat a dviejų populiacijos vidurkių skirtumo pasikliautinasis intervalas .

Bendrieji dalykai

Prieš žiūrėdami į konkrečią formulę, kurią naudosime, apsvarstykime bendrą sistemą, kuriai tinka tokio tipo pasikliautinasis intervalas. Pasikliautinojo intervalo tipo forma, į kurią žiūrėsime, pateikiama pagal šią formulę:

Įvertinkite +/- Klaidos ribą

Daugelis pasitikėjimo intervalų yra tokio tipo. Yra du skaičiai, kuriuos turime apskaičiuoti. Pirmoji iš šių verčių yra parametro įvertinimas. Antroji reikšmė yra paklaidos riba. Ši paklaida paaiškina tai, kad turime įvertinimą. Pasitikėjimo intervalas suteikia mums galimų nežinomo parametro verčių diapazoną.

Sąlygos

Prieš atlikdami bet kokį skaičiavimą, turėtume įsitikinti, kad įvykdytos visos sąlygos. Norėdami rasti dviejų populiacijos proporcijų skirtumo pasikliautinąjį intervalą, turime įsitikinti, kad galioja šie dalykai:

• Turime du paprasti atsitiktiniai pavyzdžiai iš didelių populiacijų. Čia „didelis“ reiškia, kad populiacija yra bent 20 kartų didesnė už imties dydį. Mėginių dydžiai bus pažymėti n ₁ir n _du.
• Mūsų asmenys buvo pasirinkti nepriklausomai vienas nuo kito.
• Kiekviename mūsų pavyzdyje yra bent dešimt sėkmių ir dešimt nesėkmių.

Jei paskutinis sąrašo elementas nepatenkintas, tai gali būti būdas. Mes galime modifikuoti plius-keturi pasitikėjimo intervalas statyti ir gauti tvirti rezultatai . Eidami į priekį darome prielaidą, kad buvo įvykdytos visos pirmiau nurodytos sąlygos.

Mėginiai ir populiacijos proporcijos

Dabar esame pasirengę sukurti savo pasitikėjimo intervalą. Pradedame nuo mūsų gyventojų proporcijų skirtumo įvertinimo. Abi šios populiacijos proporcijos įvertinamos imties dalimi. Šios imties proporcijos yra statistika, kuri randama padalijus sėkmingų kiekvienos imties skaičių ir padalijus iš atitinkamo imties dydžio.

Pirmoji gyventojų dalis žymima p ₁. Jei sėkmės skaičius mūsų imtyje iš šios populiacijos yra k ₁, tada turime imties proporciją k ₁ / n _1.

Šią statistiką žymime p̂₁. Šį simbolį skaitome kaip „p₁-hat“, nes atrodo kaip simbolis p₁su kepure viršuje.

Panašiu būdu galime apskaičiuoti imties proporciją iš mūsų antrosios populiacijos. Šios populiacijos parametras yra p _du. Jei sėkmės skaičius mūsų imtyje iš šios populiacijos yra k _du, o mūsų imties proporcija yra p̂_du = k _du / n _du.

Šie du statistiniai duomenys tampa pirmąja mūsų pasitikėjimo intervalo dalimi. Sąmata p ₁yra P₁. Sąmata p _duyra P_du.Taigi skirtumo įvertinimas p ₁- p _duyra P₁- p̂_du.

Atranka Mėginių proporcijų skirtumo pasiskirstymas

Toliau turime gauti paklaidos ribos formulę. Norėdami tai padaryti, pirmiausia apsvarstysime mėginių paskirstymas iš p̂₁. Tai yra binominis skirstinys su sėkmės tikimybe p ₁ir n ₁išbandymai. Šio skirstinio vidurkis yra proporcija p ₁. Šio tipo atsitiktinių dydžių standartinis nuokrypis turi dispersiją p ₁(1 - p ₁)/ n ₁.

p̂ atrankos pasiskirstymas_duyra panašus į p̂₁. Tiesiog pakeiskite visus indeksus iš 1 į 2 ir gausime binominį skirstinį, kurio vidurkis p_duir dispersija p _du(1 - p _du)/ n _du.

Dabar mums reikia kelių matematinės statistikos rezultatų, kad galėtume nustatyti p̂ atrankos pasiskirstymą₁- p̂_du. Šio skirstinio vidurkis yra p ₁- p _du. Dėl to, kad dispersijos sumuojasi, matome, kad atrankos pasiskirstymo dispersija yra p ₁(1 - p ₁)/ n ₁+ p _du(1 - p _du)/ n _du.Standartinis skirstinio nuokrypis yra šios formulės kvadratinė šaknis.

Turime atlikti keletą pakeitimų. Pirmoji yra ta, kad p̂ standartinio nuokrypio formulė₁- p̂_dunaudoja nežinomus parametrus p ₁ir p _du. Žinoma, jei mes tikrai žinotume šias reikšmes, tai nebūtų įdomi statistinė problema. Mums nereikėtų įvertinti skirtumo tarp p ₁ir p _du..Vietoj to galėtume tiesiog apskaičiuoti tikslų skirtumą.

Šią problemą galima išspręsti apskaičiuojant standartinę paklaidą, o ne standartinį nuokrypį. Viskas, ką turime padaryti, tai pakeisti populiacijos proporcijas imties proporcijomis. Standartinės paklaidos apskaičiuojamos pagal statistiką, o ne parametrus. Standartinė klaida yra naudinga, nes ji efektyviai įvertina standartinį nuokrypį. Mums tai reiškia, kad mums nebereikia žinoti parametrų reikšmės p ₁ir p _du. . Kadangi šios imties proporcijos žinomos, standartinė paklaida gaunama iš šios išraiškos kvadratinės šaknies:

p̂₁(1 - p̂₁)/ n ₁+ p̂_du(1 - p̂_du)/ n _du.

Antrasis dalykas, į kurį turime atkreipti dėmesį, yra konkreti atrankos paskirstymo forma. Pasirodo, kad galime naudoti normalųjį skirstinį, kad aproksimuotų p̂ atrankos pasiskirstymą₁- p̂_du. To priežastis yra šiek tiek techninė, tačiau ji aprašyta kitoje pastraipoje.

Tiek p̂₁ir p̂_duturėti dvejetainį atrankos pasiskirstymą. Kiekvienas iš šių dvinarių skirstinių gali būti gana gerai aproksimuotas normaliuoju skirstiniu. Taigi p̂₁- p̂_duyra atsitiktinis dydis. Jis susidaro kaip tiesinis dviejų atsitiktinių dydžių derinys. Kiekvienas iš jų yra aproksimuotas normaliuoju skirstiniu. Todėl p̂ atrankos pasiskirstymas₁- p̂_dutaip pat paprastai pasiskirsto.

Pasitikėjimo intervalo formulė

Dabar turime viską, ko reikia pasitikėjimo intervalui nustatyti. Sąmata yra (p̂₁- p̂_du) ir paklaidos riba yra Su* [ p̂₁(1 - p̂₁)/ n ₁+ p̂_du(1 - p̂_du)/ n _du.]^0.5. Vertė, kurią įvedame Su* Tai lemia pasitikėjimo lygis C. Dažniausiai naudojamos reikšmės Su* yra 1,645, kai patikimumas yra 90%, o 1,96 - 95%. Šios vertės skirtos Su* žymi standartinio normaliojo skirstinio dalį, kur tiksliai C procentas pasiskirstymo yra tarp -Su* ir Su*.

Ši formulė suteikia mums dviejų populiacijos proporcijų skirtumo pasikliautinąjį intervalą:

(p̂₁- p̂_du) +/- Su* [ p̂₁(1 - p̂₁)/ n ₁+ p̂_du(1 - p̂_du)/ n _du.]^0.5